Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo
.
$y=x^{2},
ewline y=6 x-2 x^{2}
$y=x^{2},
ewline y=6 x-2 x^{2}
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo
a região limitada pelas curvas
e
Vamos usar o método das cascas cilíndricas, cuja fórmula geral é
onde
é o raio da casca e
é sua altura.
Passo 2
Para encontrar os limites de integração, achamos as interseções resolvendo
logo
ou
. Esses serão
e
.
Passo 3
Em
a curva superior é
e a inferior é
. Logo a altura da casca é
Passo 4
Substituindo em
calculamos separadamente:
Portanto