Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo y.
$y=x^{2},
ewline y=6 x-2 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo y a região limitada pelas curvas
y = x^2
e
y = 6x - 2x^2
Vamos usar o método das cascas cilíndricas, cuja fórmula geral é
V = 2pi integrala^b x,h(x),dx,
onde x é o raio da casca e h(x) é sua altura.

Passo 2

Para encontrar os limites de integração, achamos as interseções resolvendo
x^2 = 6x - 2x^2
3x^2 - 6x = 0 iff 3x(x - 2) = 0,
logo x = 0 ou x = 2. Esses serão a e b.

Passo 3

Em [0,2] a curva superior é y = 6x - 2x^2 e a inferior é y = x^2. Logo a altura da casca é
h(x) = (6x - 2x^2) - x^2 = 6x - 3x^2

Passo 4

Substituindo em
V = 2pi integral0^2 x,(6x - 3x^2),dx = 2pi integral0^2 (6x^2 - 3x^3),dx,
calculamos separadamente:
integral0^26x^2,dx = 6cdotx^33|0^2 = 2cdot8 =16,
integral0^23x^3,dx = 3cdotx^44|0^2 = 3cdot164 =12
Portanto
V = 2pi,(16 - 12) = 8pi

Resposta

8pi

Exercícios relacionados