Verifique se as séries a seguir convergem ou divergem. Justifique suas respostas.
sumn=1^+infty (-1)^n(2 n+1)!.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o problema que você apresentou. A gente tem a série infinita:
sumn=1^+infty (-1)^n(2 n+1)!
Nosso objetivo é verificar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender conceitos de séries alternadas, fatores de crescimento e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nos termos da série:
an = (-1)^n(2 n+1)!
Aqui, temos uma série alternada porque o sinal dos termos muda a cada n (devido ao (-1)^n). Além disso, o denominador envolve um fatorial de (2n + 1), que cresce muito rápido conforme n aumenta.

Passo 3

Para verificar a convergência, podemos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma sum (-1)^n bn converge se:
  1. Os termos bn são positivos.
  2. Os termos bn são decrescentes: bn+1 <= bn para todo n.
  3. O limite dos termos tende a zero: limn to infty bn = 0.
No nosso caso, temos:
bn = 1(2n + 1)!

Passo 4

Vamos verificar as condições do Teste da Série Alternada:
  1. Positividade: bn é positivo para todo n, já que está no denominador com fatorial.
  2. Termos decrescentes: Como (2n + 1)! cresce conforme n aumenta, bn diminui.
  3. Limite zero:
limn to infty 1(2n + 1)! = 0
Isso acontece porque o fatorial cresce tão rápido que o inverso tende a zero.

Passo 5

Como todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série sumn=1^+infty (-1)^n(2 n+1)! converge.

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