Verifique se as séries a seguir convergem ou divergem. Justifique suas respostas.
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Passo 1
Beleza, vamos analisar o problema que você apresentou. A gente tem a série infinita:
Nosso objetivo é verificar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender conceitos de séries alternadas, fatores de crescimento e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada nos termos da série:
Aqui, temos uma série alternada porque o sinal dos termos muda a cada n (devido ao
). Além disso, o denominador envolve um fatorial de
, que cresce muito rápido conforme n aumenta.
Passo 3
Para verificar a convergência, podemos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma
converge se:
- Os termos
são positivos. - Os termos
são decrescentes: para todo n. - O limite dos termos tende a zero:
.
No nosso caso, temos:
Passo 4
Vamos verificar as condições do Teste da Série Alternada:
- Positividade:
é positivo para todo n, já que está no denominador com fatorial. - Termos decrescentes: Como
cresce conforme n aumenta, diminui. - Limite zero:
Isso acontece porque o fatorial cresce tão rápido que o inverso tende a zero.
Passo 5
Como todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série converge.
Resposta
A série
converge.