Seja V=P2. Verifique se os subconjuntos W de V são subespaços. Justifique suas respostas.
W=p(x)=a x^2+b x+c in P2 ; p(-x)=p(x).

Passo 1

O enunciado diz que V=P2 é o espaço dos polinômios de grau <=2 e que
W=p(x)=ax^2+bx+cinP2 mid p(-x)=p(x)
é o subconjunto dos polinômios pares. Vamos usar o teste de subespaço vetorial, que exige verificar:
1. 0in W.
2. Fechamento sob soma.
3. Fechamento sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificar 0in W. O polinômio zero é p(x)=0, e claramente
p(-x)=0=p(x),
logo 0in W.

Passo 3

Verificar fechamento sob soma. Se p,qin W então
p(-x)=p(x)e q(-x)=q(x)
Logo
(p+q)(-x)=p(-x)+q(-x)=p(x)+q(x)=(p+q)(x),
ou seja, p+qin W.

Passo 4

Verificar fechamento sob multiplicação escalar. Se pin W e alphainR, então
(alpha p)(-x)=alpha,p(-x)=alpha,p(x)=(alpha p)(x),
logo alpha pin W.

Passo 5

Concluímos que W contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar. Portanto W é subespaço de V. Note ainda que a condição p(-x)=p(x) anula o coeficiente b, mostrando que
W=ax^2+cmid a,cinR=spanx^2,1,
com dim W=2.

Resposta

Sim, W é subespaço de V.

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