Seja
. Verifique se os subconjuntos
de
são subespaços. Justifique suas respostas.
.
Passo 1
O enunciado diz que
é o espaço dos polinômios de grau
e que
é o subconjunto dos polinômios pares. Vamos usar o teste de subespaço vetorial, que exige verificar:
.
.
. Fechamento sob soma.
. Fechamento sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificar
. O polinômio zero é
, e claramente
logo
.
Passo 3
Verificar fechamento sob soma. Se
então
Logo
ou seja,
.
Passo 4
Verificar fechamento sob multiplicação escalar. Se
e
, então
logo
.
Passo 5
Concluímos que
contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar. Portanto
é subespaço de
. Note ainda que a condição
anula o coeficiente
, mostrando que
com
.
Resposta
Sim,
é subespaço de
.