Seja V=R^2 e W=(x, y) in R^2 ; x^2+x^2 <= 1. Verifique se W é um subespaço de V.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=R^2 e o conjunto
W = (x,y)inR^2 mid x^2 + y^2 <= 1
Queremos verificar se W é um subespaço de V. Para isso, vamos usar o teste de subespaço, que exige:
  1. 0in W.
  2. Se u,vin W então u+vin W.
  3. Se uin W e alphainR então alpha uin W.

Passo 2

Verificamos o vetor nulo 0=(0,0). Como
0^2 + 0^2 = 0 <= 1,
temos 0in W. Portanto, a primeira condição é satisfeita.

Passo 3

Testamos a fechamento por soma. Considere
u = (1,0), v = (1,0)
Como
1^2 + 0^2 = 1 <= 1,
tanto u quanto v pertencem a W. Mas
u + v = (2,0)
e
2^2 + 0^2 = 4 > 1,
logo u+vnotin W. Isso mostra que W não é fechado sob adição.

Passo 4

Como falha a segunda condição do teste de subespaço (fechamento sob soma), concluímos que W não é um subespaço de V.

Resposta

W não é um subespaço de R^2.

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