Verifique que o conjunto das matrizes
é um espaço vetorial.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
é um espaço vetorial sobre
. Para isso, precisamos definir as operações de adição de matrizes e multiplicação por escalar, e verificar que elas satisfazem os axiomas de espaço vetorial (fechamento, comutatividade e associatividade da adição, existência de elemento neutro e inverso aditivo, e propriedades da multiplicação escalar).
Passo 2
Definimos para
e
em
e para
:
Como soma e produto em
são fechados, cada
e
ainda é real, logo
e
permanecem em
. Assim, temos fechamento sob adição e multiplicação escalar.
Passo 3
Verificamos os axiomas relacionados à adição:
- Comutatividade:
logo
.
2. Associatividade:
2. Associatividade:
- Elemento neutro: a matriz nula
satisfaz
logo
.
4. Inverso aditivo: para cada existe
dado por
, pois
4. Inverso aditivo: para cada
logo
.
Passo 4
Verificamos os axiomas envolvendo multiplicação escalar:
- Distributividade sobre soma de vetores:
- Distributividade sobre soma de escalares:
- Associatividade de escalares:
- Elemento neutro escalar:
logo
.
Passo 5
Como todas as propriedades de espaço vetorial sobre
estão satisfeitas, concluímos que
é de fato um espaço vetorial sobre
.
Resposta
O conjunto
, com adição e multiplicação escalar definidas componente a componente, satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial; portanto é um espaço vetorial sobre
.