Verifique que o conjunto das matrizes 3 times 3 é um espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
M3times3(R) = ,Amid A é matriz 3times3 com entradas em R é
é um espaço vetorial sobre R. Para isso, precisamos definir as operações de adição de matrizes e multiplicação por escalar, e verificar que elas satisfazem os axiomas de espaço vetorial (fechamento, comutatividade e associatividade da adição, existência de elemento neutro e inverso aditivo, e propriedades da multiplicação escalar).

Passo 2

Definimos para A=(aij) e B=(bij) em M3times3(R) e para cinR:
(A+B)ij = aij+bij, (cA)ij = ccdot aij
Como soma e produto em R são fechados, cada aij+bij e c,aij ainda é real, logo A+B e cA permanecem em M3times3(R). Assim, temos fechamento sob adição e multiplicação escalar.

Passo 3

Verificamos os axiomas relacionados à adição:
  1. Comutatividade:
(A+B)ij = aij+bij = bij+aij = (B+A)ij,
logo A+B = B+A.
2. Associatividade:
((A+B)+C)ij = (aij+bij)+cij = aij+(bij+cij) = (A+(B+C))ij
  1. Elemento neutro: a matriz nula O=(0) satisfaz
(A+O)ij = aij+0 = aij,
logo A+O=A.
4. Inverso aditivo: para cada A existe -A dado por (-A)ij = -aij, pois
(A+(-A))ij = aij + (-aij) = 0,
logo A+(-A)=O.

Passo 4

Verificamos os axiomas envolvendo multiplicação escalar:
  1. Distributividade sobre soma de vetores:
(c(A+B))ij = c(aij+bij) = c,aij + c,bij = (cA + cB)ij
  1. Distributividade sobre soma de escalares:
((c+d)A)ij = (c+d),aij = c,aij + d,aij = (cA + dA)ij
  1. Associatividade de escalares:
(c(dA))ij = c,(d,aij) = (cd),aij = ((cd)A)ij
  1. Elemento neutro escalar:
(1cdot A)ij = 1cdot aij = aij,
logo 1cdot A = A.

Passo 5

Como todas as propriedades de espaço vetorial sobre R estão satisfeitas, concluímos que M3times3(R) é de fato um espaço vetorial sobre R.

Resposta

O conjunto M3times3(R), com adição e multiplicação escalar definidas componente a componente, satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial; portanto é um espaço vetorial sobre R.

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