Seja (X, Y) vetor aleatório tendo distribuição admitindo densidade conjunta f(x, y). Sejam W=a X+b e Z=c Y+d, sendo a>0, c>0, b \in \mathbb{R} \in d \in \mathbb{R}.
(a) Obtenha densidade conjunta para (W, Z).
(b) Se (X, Y) tem distribuição uniforme no círculo unitário C=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}, qual a distribuição conjunta de (W, Z) ?
Passo 1
O enunciado trata de uma transformação afim em cada componente de um vetor aleatório (X,Y). O conteúdo é o método de mudança de variáveis para densidades conjuntas, usando o jacobiano da transformação. Vamos precisar:
identificar a transformação e sua inversa,
calcular o determinante do jacobiano da inversa,
aplicar a fórmula geral f_{W,Z}(w,z)=f_{X,Y}(x(w,z),y(w,z))\bigl|\det J\bigr|,
no caso uniforme no disco, usar f_{X,Y}(x,y)=1/\pi em x^2+y^2\le1.
Passo 2
Definimos a transformação
W = aX + b,\quad Z = cY + d,
com a>0, c>0. A inversa é
X = \frac{W - b}{a},\quad Y = \frac{Z - d}{c}.
O jacobiano da inversa J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(w,z)} é a matriz diagonal com entradas 1/a e 1/c. Logo
\det J = \frac1a\cdot\frac1c = \frac1{ac}.
Passo 3
Pela fórmula de mudança de variáveis, a densidade conjunta de (W,Z) é
Agora, se (X,Y)\) é uniforme no disco unitário \(C=\{(x,y)\colon x^2+y^2\le1\}\), então
\[f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} \displaystyle \frac1\pi, & x^2+y^2\le1,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}
Substituindo em (f_{W,Z}], obtemos f_{W,Z}(w,z) = \frac{1}{ac}\;\frac1\pi \quad\text{se}\quad \Bigl(\tfrac{w-b}{a}\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac{z-d}{c}\Bigr)^2 \le 1,
e zero fora dessa região.