Seja (X, Y) vetor aleatório tendo distribuição admitindo densidade conjunta f(x, y). Sejam W=a X+b e Z=c Y+d, sendo a>0, c>0, b \in \mathbb{R} \in d \in \mathbb{R}.
(a) Obtenha densidade conjunta para (W, Z).
(b) Se (X, Y) tem distribuição uniforme no círculo unitário C=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}, qual a distribuição conjunta de (W, Z) ?

Passo 1

O enunciado trata de uma transformação afim em cada componente de um vetor aleatório (X,Y). O conteúdo é o método de mudança de variáveis para densidades conjuntas, usando o jacobiano da transformação. Vamos precisar:
  1. identificar a transformação e sua inversa,
  2. calcular o determinante do jacobiano da inversa,
  3. aplicar a fórmula geral f_{W,Z}(w,z)=f_{X,Y}(x(w,z),y(w,z))\bigl|\det J\bigr|,
  4. no caso uniforme no disco, usar f_{X,Y}(x,y)=1/\pi em x^2+y^2\le1.

Passo 2

Definimos a transformação
W = aX + b,\quad Z = cY + d,
com a>0, c>0. A inversa é
X = \frac{W - b}{a},\quad Y = \frac{Z - d}{c}.
O jacobiano da inversa J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(w,z)} é a matriz diagonal com entradas 1/a e 1/c. Logo
\det J = \frac1a\cdot\frac1c = \frac1{ac}.

Passo 3

Pela fórmula de mudança de variáveis, a densidade conjunta de (W,Z) é
f_{W,Z}(w,z) = f_{X,Y}\!\Bigl(\tfrac{w-b}{a},\,\tfrac{z-d}{c}\Bigr)\;\Bigl|\det J\Bigr| = \frac{1}{ac}\;f_{X,Y}\!\Bigl(\tfrac{w-b}{a},\,\tfrac{z-d}{c}\Bigr).

Passo 4

Agora, se (X,Y)\) é uniforme no disco unitário \(C=\{(x,y)\colon x^2+y^2\le1\}\), então \[f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} \displaystyle \frac1\pi, & x^2+y^2\le1,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}
Substituindo em (f_{W,Z}], obtemos
f_{W,Z}(w,z) = \frac{1}{ac}\;\frac1\pi \quad\text{se}\quad \Bigl(\tfrac{w-b}{a}\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac{z-d}{c}\Bigr)^2 \le 1,
e zero fora dessa região.

Resposta

(a) f_{W,Z}(w,z) = \frac{1}{ac}\;f_{X,Y}\!\Bigl(\tfrac{w-b}{a},\,\tfrac{z-d}{c}\Bigr).
(b) f_{W,Z}(w,z) = \begin{cases} \dfrac{1}{\pi\,a\,c}, &\displaystyle \Bigl(\tfrac{w-b}{a}\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac{z-d}{c}\Bigr)^2 \le 1,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á

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