Suponha que X_{1}, \ldots, X_{n} são independentes com distribuiçāo comum uniforme no intervalo (0,1) e considere sua média geométrica G=\sqrt[5]{X_{1} \cdots X_{n}}. Mostre que -2 n \ln G tem distribuição qui-quadrado. Qual o número de graus de liberdade?

Passo 1

O enunciado diz que X_{1},\dots,X_{n} são independentes e U(0,1). Definimos a média geométrica
G = \sqrt[n]{X_{1}X_{2}\cdots X_{n}}
e queremos achar a distribuição de -2n\ln G. Vamos usar transformação de variáveis e o fato de que a soma de qui-quadrados independentes é qui-quadrado com graus de liberdade somados.

Passo 2

Note que
\ln G = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ln X_{i} \quad\Longrightarrow\quad -2n\ln G = -2\sum_{i=1}^{n}\ln X_{i}.
Para cada i definimos
T_{i} = -2\ln X_{i}.
Como X_{i}\sim U(0,1), a transformação x\mapsto t=-2\ln x
x = e^{-t/2}, \quad \frac{dx}{dt}=-\tfrac12e^{-t/2},
então a densidade de T_{i} é, para t\ge0,
f_{T_{i}}(t) = f_{X_{i}}(x)\bigl|\tfrac{dx}{dt}\bigr| = 1\cdot\frac12e^{-t/2} =\frac1{2}e^{-t/2}.
Esse é exatamente o pdf de \chi^{2} com 2 graus de liberdade. Logo
T_{i}\sim \chi^{2}_{2}.

Passo 3

Pelo cálculo acima temos
-2n\ln G = \sum_{i=1}^{n}T_{i},
e como os T_{i} são independentes e cada um é \chi^{2}_{2}, a soma é qui-quadrado com graus de liberdade iguais à soma dos graus de cada T_{i}.

Passo 4

Somando n variáveis \chi^{2}_{2} independentes obtemos
\sum_{i=1}^{n}T_{i}\sim \chi^{2}_{2+2+\cdots+2} =\chi^{2}_{2n}.
Portanto
-2n\ln G\sim \chi^{2}_{2n}.

Resposta

-2n\ln G tem distribuição \chi^{2} com 2n graus de liberdade.

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