Suponha que X_{1}, \ldots, X_{n} são independentes com distribuiçāo comum uniforme no intervalo (0,1) e considere sua média geométrica G=\sqrt[5]{X_{1} \cdots X_{n}}. Mostre que -2 n \ln G tem distribuição qui-quadrado. Qual o número de graus de liberdade?
Passo 1
O enunciado diz que X_{1},\dots,X_{n} são independentes e U(0,1). Definimos a média geométrica
G = \sqrt[n]{X_{1}X_{2}\cdots X_{n}}
e queremos achar a distribuição de -2n\ln G. Vamos usar transformação de variáveis e o fato de que a soma de qui-quadrados independentes é qui-quadrado com graus de liberdade somados.
Passo 2
Note que
\ln G = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ln X_{i} \quad\Longrightarrow\quad -2n\ln G = -2\sum_{i=1}^{n}\ln X_{i}.
Para cada i definimos
T_{i} = -2\ln X_{i}.
Como X_{i}\sim U(0,1), a transformação x\mapsto t=-2\ln x dá
x = e^{-t/2}, \quad \frac{dx}{dt}=-\tfrac12e^{-t/2},