Seja X\) variável alcatória, \(0<X<1\). Dizemos que \(X\) tem distribuição potência no intervalo \((0,1)\) com parâmetro \(\theta>0\) se \(X\) admite densidade
\[f(x)= \begin{cases}\theta x^{\theta-1} & \text { se } 0<x<1 \\\\ 0 & \text { caso contrário. }\end{cases}
Suponha que X_{1}, \ldots, X_{n}\] são independentes com \(X_{i} tendo distribuição potēncia de parãmetro \theta_{i} no intervalo (0,1). Obtenha a distribuição de X_{(\mathrm{n})}=\max \left\{X_{1}, \ldots, X_{n}\right\}.
Passo 1
O enunciado diz que X_{1},\dots,X_{n}\) são independentes e cada \(X_{i}\) tem densidade
\[f_{i}(x)= \begin{cases} \theta_{i}\,x^{\theta_{i}-1},&0<x<1,\\\\ 0,&\text{caso contrário}. \end{cases}
Queremos a distribuição de
X_{(n)}=\max\{X_{1},\dots,X_{n}\}.
Para isso, vamos primeiro obter a função de distribuição acumulada (CDF) de (X_{(n)}] usando a independência, e depois diferenciar para achar a densidade.