Seja X\) variável alcatória, \(0<X<1\). Dizemos que \(X\) tem distribuição potência no intervalo \((0,1)\) com parâmetro \(\theta>0\) se \(X\) admite densidade \[f(x)= \begin{cases}\theta x^{\theta-1} & \text { se } 0<x<1 \\\\ 0 & \text { caso contrário. }\end{cases}
Suponha que X_{1}, \ldots, X_{n}\] são independentes com \(X_{i} tendo distribuição potēncia de parãmetro \theta_{i} no intervalo (0,1). Obtenha a distribuição de X_{(\mathrm{n})}=\max \left\{X_{1}, \ldots, X_{n}\right\}.

Passo 1

O enunciado diz que X_{1},\dots,X_{n}\) são independentes e cada \(X_{i}\) tem densidade \[f_{i}(x)= \begin{cases} \theta_{i}\,x^{\theta_{i}-1},&0<x<1,\\\\ 0,&\text{caso contrário}. \end{cases}
Queremos a distribuição de
X_{(n)}=\max\{X_{1},\dots,X_{n}\}.
Para isso, vamos primeiro obter a função de distribuição acumulada (CDF) de (X_{(n)}] usando a independência, e depois diferenciar para achar a densidade.

Passo 2

Para 0<x<1\), temos \[P\bigl(X_{(n)}\le x\bigr) = P\bigl(X_{1}\le x,\dots,X_{n}\le x\bigr) = \prod_{i=1}^{n}P\bigl(X_{i}\le x\bigr).
Como a CDF de cada X_{i} é
F_{i}(x)=P(X_{i}\le x)= \begin{cases} x^{\theta_{i}},&0<x<1,\\\\ 0,&x\le0,\\\\ 1,&x\ge1, \end{cases}
fica, para (0<x<1],
P\bigl(X_{(n)}\le x\bigr) =\prod_{i=1}^{n}x^{\theta_{i}} =x^{\sum_{i=1}^{n}\theta_{i}}.
Defina
\Theta = \sum_{i=1}^{n}\theta_{i}.
Então
F_{X_{(n)}}(x)= \begin{cases} 0,&x\le0,\\\ x^{\Theta},&0<x<1,\\\\ 1,&x\ge1. \end{cases}

Passo 3

A densidade de X_{(n)} é a derivada de F_{X_{(n)}}(x) em 0<x<1. Derivando x^{\Theta} em relação a x
f_{X_{(n)}}(x) =\frac{d}{dx}\,x^{\Theta} =\Theta\,x^{\Theta-1}, \quad 0<x<1.

Resposta

A variável X_{(n)} também tem distribuição potência em (0,1) com parâmetro \Theta=\sum_{i=1}^{n}\theta_{i}. Sua densidade é
f_{X_{(n)}}(x)= \begin{cases} \Theta\,x^{\Theta-1},&0<x<1,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á

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