Seja (X, Y) vetor aleatório no triângulo T=\{(x, y): 0<x<1 ; 0<y<1 ; x>y\} admitindo densidade f(x, y)=c x y^{2}.
(a) Determine o valor de c.
(b) Obtenha densidades marginais para X e Y.
(c) Obtenha densidade condicional para Y dado que X=x, para 0<x<1.
(d) Calcule P(Y<1 / 3 \mid X=1 / 2).

Passo 1

O enunciado diz que (X,Y) tem densidade conjunta
f(x,y)=c\,x\,y^{2}
no triângulo
T=\{(x,y)\mid 0<y<x<1\}
e zero fora. Precisamos de (a) encontrar a constante c pela condição de normalização, (b) obter as densidades marginais de X e de Y, (c) a densidade condicional f_{Y\mid X}(y\mid x) e (d) a probabilidade P\bigl(Y<1/3\mid X=1/2\bigr).

Passo 2

Para achar c usamos
\iint_{T}f(x,y)\,dy\,dx =\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{x}c\,x\,y^{2}\,dy\,dx \stackrel{!}{=}1.
Calculemos a integral interna:
\int_{0}^{x}y^{2}\,dy=\frac{x^{3}}{3}.
Logo
\int_{0}^{1}c\,x\cdot\frac{x^{3}}{3}\,dx =\frac{c}{3}\int_{0}^{1}x^{4}\,dx =\frac{c}{3}\cdot\frac{1}{5} =\frac{c}{15}.
Para normalizar, \tfrac{c}{15}=1, daí
c=15.

Passo 3

A densidade marginal de X é
f_{X}(x) =\int_{y=0}^{x}15\,x\,y^{2}\,dy =15\,x\cdot\frac{x^{3}}{3} =5\,x^{4}, \quad 0<x<1.
A densidade marginal de Y é
f_{Y}(y) =\int_{x=y}^{1}15\,x\,y^{2}\,dx =15\,y^{2}\int_{y}^{1}x\,dx =15\,y^{2}\cdot\frac{1-y^{2}}{2} =\frac{15}{2}\,y^{2}(1-y^{2}), \quad 0<y<1.

Passo 4

A densidade condicional de Y dado X=x é
f_{Y\mid X}(y\mid x) =\frac{f(x,y)}{f_{X}(x)} =\frac{15\,x\,y^{2}}{5\,x^{4}} =\frac{3\,y^{2}}{x^{3}}, \quad 0<y<x<1.

Passo 5

Para x=\tfrac12 queremos
P\bigl(Y<\tfrac13\mid X=\tfrac12\bigr) =\int_{0}^{1/3}f_{Y\mid X}\bigl(y\mid \tfrac12\bigr)\,dy =\int_{0}^{1/3}\frac{3\,y^{2}}{(\tfrac12)^{3}}\,dy =\int_{0}^{1/3}24\,y^{2}\,dy.
Como
\int_{0}^{1/3}y^{2}\,dy =\frac{(1/3)^{3}}{3} =\frac{1}{81},
segue
P\bigl(Y<\tfrac13\mid X=\tfrac12\bigr) =24\cdot\frac{1}{81} =\frac{24}{81} =\frac{8}{27}.

Resposta

(a) c=15
(b) f_{X}(x)=5x^{4},\;0<x<1 e f_{Y}(y)=\tfrac{15}{2}y^{2}(1-y^{2}),\;0<y<1
(c) f_{Y\mid X}(y\mid x)=\tfrac{3y^{2}}{x^{3}},\;0<y<x<1
(d) P(Y<1/3\mid X=1/2)=\tfrac{8}{27}

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