Seja a um vetor não nulo de módulo a. Os ângulos alpha= Varang<=(a, i), beta=Varang<=(a, jmath) e gamma=Varang<=(a, k) são chamados ângulos diretores de a. Os números l=cos alpha, m=cos beta e n= cos gamma são chamados cossenos diretores de a.
Mostre que:
a) a=a(cos alpha imath+cos beta jmath+cos gamma k);

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um vetor a com módulo a, e queremos expressá-lo em termos das suas direções em relação aos eixos coordenados imath, jmath e k. Os ângulos que a forma com cada um desses eixos são chamados de ângulos diretores, e seus cossenos são os cossenos diretores: l = cos alpha, m = cos beta e n = cos gamma. Nosso objetivo é mostrar que:
a = a(cos alpha imath + cos beta jmath + cos gamma k)
Para isso, vamos precisar conhecer como decompor um vetor em suas componentes e usar as propriedades dos ângulos diretores.

Passo 2

Vamos lembrar que qualquer vetor no espaço tridimensional pode ser decomposto em suas componentes ao longo dos eixos imath, jmath e k. Ou seja:
a = ax imath + ay jmath + az k
Aqui, ax, ay e az são as componentes do vetor a ao longo dos eixos x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Sabemos que os cossenos diretores são definidos como:
l = cos alpha, m = cos beta, n = cos gamma
Esses cossenos representam as proporções das componentes do vetor em relação ao seu módulo total. Portanto, podemos relacionar as componentes do vetor com os cossenos diretores multiplicando cada um pelo módulo a:
ax = a cos alpha = a l
ay = a cos beta = a m
az = a cos gamma = a n

Passo 4

Substituindo as componentes ax, ay e az na expressão original do vetor, temos:
a = ax imath + ay jmath + az k = a l imath + a m jmath + a n k
Fatorando o a, obtemos:
a = a (cos alpha imath + cos beta jmath + cos gamma k)

Resposta

Assim, mostramos que:
a = a (cos alpha imath + cos beta jmath + cos gamma k)

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