Seja
um vetor não nulo de módulo
. Os ângulos
e
são chamados ângulos diretores de
. Os números
são chamados cossenos diretores de
.
Mostre que:
a)
;
Mostre que:
a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um vetor
com módulo
, e queremos expressá-lo em termos das suas direções em relação aos eixos coordenados
,
e
. Os ângulos que
forma com cada um desses eixos são chamados de ângulos diretores, e seus cossenos são os cossenos diretores:
,
e
. Nosso objetivo é mostrar que:
Para isso, vamos precisar conhecer como decompor um vetor em suas componentes e usar as propriedades dos ângulos diretores.
Passo 2
Vamos lembrar que qualquer vetor no espaço tridimensional pode ser decomposto em suas componentes ao longo dos eixos
,
e
. Ou seja:
Aqui,
,
e
são as componentes do vetor
ao longo dos eixos
,
e
, respectivamente.
Passo 3
Sabemos que os cossenos diretores são definidos como:
Esses cossenos representam as proporções das componentes do vetor em relação ao seu módulo total. Portanto, podemos relacionar as componentes do vetor com os cossenos diretores multiplicando cada um pelo módulo
:
Passo 4
Substituindo as componentes
,
e
na expressão original do vetor, temos:
Fatorando o
, obtemos:
Resposta
Assim, mostramos que: