Seja
o plano
.
Obtenha uma base
de
R^3 tal que
v1, v2 in W .
Obtenha uma base
Passo 1
O enunciado pede uma base
v1,v2,v3 de
R^3 tal que
v1 e
v2 pertençam ao plano
Conteúdo: saber parametrizar um subespaço afim (aqui um plano que passa pela origem) para extrair uma base e depois estender essa base a
R^3 .
Passo 2
Parametrizamos
W . Da equação
x+2y-z=0 segue
Tomando
y=s e
z=t como parâmetros, um vetor genérico de
W é
Passo 3
Dessa parametrização vemos imediatamente dois vetores independentes em
W :
Eles satisfazem
x+2y-z=0 e são linearmente independentes, logo formam uma base de
W .
Passo 4
Para estender
v1,v2 a uma base de
R^3 , basta escolher um vetor
v3 que não pertença a
W . Uma escolha natural é o vetor normal ao plano:
pois
,1 + 2cdot2 -(-1)=1+4+1=6neq0 , logo
v3notin W . Além disso,
v1,v2,v3 são linearmente independentes em
R^3 .