Seja W o plano x+2 y-z=0.
Obtenha uma base v1, v2, v3 de R^3 tal que v1, v2 in W.

Passo 1

O enunciado pede uma base v1,v2,v3 de R^3 tal que v1 e v2 pertençam ao plano
W:;x+2y-z=0
Conteúdo: saber parametrizar um subespaço afim (aqui um plano que passa pela origem) para extrair uma base e depois estender essa base a R^3.

Passo 2

Parametrizamos W. Da equação x+2y-z=0 segue
x = z - 2y
Tomando y=s e z=t como parâmetros, um vetor genérico de W é
(x,y,z) = (,t - 2s,;s,;t,) = s,(-2,1,0) + t,(1,0,1)

Passo 3

Dessa parametrização vemos imediatamente dois vetores independentes em W:
v1 = (-2,1,0), v2 = (1,0,1)
Eles satisfazem x+2y-z=0 e são linearmente independentes, logo formam uma base de W.

Passo 4

Para estender v1,v2 a uma base de R^3, basta escolher um vetor v3 que não pertença a W. Uma escolha natural é o vetor normal ao plano:
v3 = (1,2,-1),
pois ,1 + 2cdot2 -(-1)=1+4+1=6neq0, logo v3notin W. Além disso, v1,v2,v3 são linearmente independentes em R^3.

Resposta

;(-2,1,0),;(1,0,1),;(1,2,-1)

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