Seja W o subespaço de R^4 gerado por u=(1,2,1,1) e v=(1,0,3,4). Encontre
uma base ortogonal de W;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um subespaço de gerado por dois vetores, e . Nosso objetivo aqui é encontrar uma base ortogonal para esse subespaço. Para isso, vamos usar o método de Gram-Schmidt, que transforma um conjunto de vetores em uma base ortogonal.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores que vão compor nossa base. Temos e . O método de Gram-Schmidt vai nos ajudar a torná-los ortogonais, ou seja, que o produto interno entre eles seja zero.

Passo 3

Começamos com o primeiro vetor, . Como ele é o primeiro, ele já faz parte da nossa base ortogonal. Então, deixamos .

Passo 4

Agora, vamos ajustar o segundo vetor proje1(v) = v cdot e1e1 cdot e1 e1 para que ele seja ortogonal a v cdot e1 = 1 times 1 + 0 times 2 + 3 times 1 + 4 times 1 = 1 + 0 + 3 + 4 = 8 . Para isso, subtraímos de e1 cdot e1 = 1^2 + 2^2 + 1^2 + 1^2 = 1 + 4 + 1 + 1 = 7 a projeção de proje1(v) = 87 times (1, 2, 1, 1) = ( 87, 167, 87, 87 ) em e2 = v - proje1(v) = (1 - 87, 0 - 167, 3 - 87, 4 - 87) = ( -17, -167, 137, 207 ) . A fórmula da projeção é:
Calculando os produtos internos:
Então:
Subtraindo essa projeção de :

Passo 5

Agora temos dois vetores ortogonais: e . Para finalizar, podemos normalizar esses vetores se quisermos uma base ortonormal, mas como o exercício pede apenas uma base ortogonal, já estamos prontos.

Resposta

Uma base ortogonal de e1 = (1, 2, 1, 1) e e2 = ( -17, -167, 137, 207 ) é formada pelos vetores

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