Seja
o subespaço de
gerado por
e
. Encontre
uma base ortogonal de
;
uma base ortogonal de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um subespaço
de
gerado por dois vetores,
e
. Nosso objetivo aqui é encontrar uma base ortogonal para esse subespaço. Para isso, vamos usar o método de Gram-Schmidt, que transforma um conjunto de vetores em uma base ortogonal.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores que vão compor nossa base. Temos
e
. O método de Gram-Schmidt vai nos ajudar a torná-los ortogonais, ou seja, que o produto interno entre eles seja zero.
Passo 3
Começamos com o primeiro vetor,
. Como ele é o primeiro, ele já faz parte da nossa base ortogonal. Então, deixamos
.
Passo 4
Agora, vamos ajustar o segundo vetor
para que ele seja ortogonal a
. Para isso, subtraímos de
a projeção de
em
. A fórmula da projeção é:
Calculando os produtos internos:
Então:
Subtraindo essa projeção de
:
Passo 5
Agora temos dois vetores ortogonais:
e
. Para finalizar, podemos normalizar esses vetores se quisermos uma base ortonormal, mas como o exercício pede apenas uma base ortogonal, já estamos prontos.
Resposta
Uma base ortogonal de
é formada pelos vetores