Seja W o subespaço de R^4 gerado por u=(1,2,1,1) e v=(1,0,3,4). Encontre
uma base ortonormal de W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar uma base ortonormal do subespaço de , que é gerado pelos vetores e . Isso envolve conceitos de álgebra linear, como subespaços vetoriais, base e, mais especificamente, o processo de Gram-Schmidt para ortonormalizar vetores. Vamos precisar calcular normas, produtos internos e seguir o passo a passo desse método.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores v = (1, 0, 3, 4) e u = (1, 2, 1, 1) e são linearmente independentes. Se forem, eles já formam uma base de e podemos aplicar o Gram-Schmidt para torná-los ortonormais.
Para saber se são independentes, verificamos se existe um escalar tal que . Observando os componentes:
Claramente, não é múltiplo de porque, por exemplo, o segundo componente de é 0, enquanto de é 2. Portanto, e são linearmente independentes e formam uma base para .

Passo 3

Agora vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt para transformar esses vetores em uma base ortonormal. O objetivo é ter vetores com norma 1 (normalizados) e mutuamente perpendiculares (ortogonais).
  1. Primeiro, normalizamos o vetor |u| = raiz1^2 + 2^2 + 1^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 + 1 = raiz7 :
e1 = u|u| = ( 1raiz7, 2raiz7, 1raiz7, 1raiz7 )
Então,
proje1(v) = ( v cdot e1e1 cdot e1 ) e1 = (v cdot e1) e1
  1. Em seguida, projetamos v cdot e1 = 1 cdot 1raiz7 + 0 cdot 2raiz7 + 3 cdot 1raiz7 + 4 cdot 1raiz7 = 1 + 0 + 3 + 4raiz7 = 8raiz7 em proje1(v) = 8raiz7 cdot ( 1raiz7, 2raiz7, 1raiz7, 1raiz7 ) = ( 87, 167, 87, 87 ) :
v' = v - proje1(v) = ( 1 - 87, 0 - 167, 3 - 87, 4 - 87 ) = ( -17, -167, 137, 207 )
Calculando o produto interno |v'| = raiz(-17)^2 + (-167)^2 + (137)^2 + (207)^2 = raiz1 + 256 + 169 + 40049 = raiz82649 = raiz8267 :
e2 = v'|v'| = ( -17 cdot 7raiz826, -167 cdot 7raiz826, 137 cdot 7raiz826, 207 cdot 7raiz826 ) = ( -1raiz826, -16raiz826, 13raiz826, 20raiz826 )
Então,
  1. Subtraímos essa projeção de para obter o vetor ortogonal:
  1. Agora, normalizamos para obter :
Então,

Resposta

A base ortonormal de e1 = ( 1raiz7, 2raiz7, 1raiz7, 1raiz7 ) é composta pelos vetores:
e2 = ( -1raiz826, -16raiz826, 13raiz826, 20raiz826 )
e

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