Seja
o subespaço de
gerado por
e
. Encontre
uma base ortonormal de
.
uma base ortonormal de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar uma base ortonormal do subespaço
de
, que é gerado pelos vetores
e
. Isso envolve conceitos de álgebra linear, como subespaços vetoriais, base e, mais especificamente, o processo de Gram-Schmidt para ortonormalizar vetores. Vamos precisar calcular normas, produtos internos e seguir o passo a passo desse método.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se os vetores
e
são linearmente independentes. Se forem, eles já formam uma base de
e podemos aplicar o Gram-Schmidt para torná-los ortonormais.
Para saber se são independentes, verificamos se existe um escalar
tal que
. Observando os componentes:
Claramente,
não é múltiplo de
porque, por exemplo, o segundo componente de
é 0, enquanto de
é 2. Portanto,
e
são linearmente independentes e formam uma base para
.
Passo 3
Agora vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt para transformar esses vetores em uma base ortonormal. O objetivo é ter vetores com norma 1 (normalizados) e mutuamente perpendiculares (ortogonais).
- Primeiro, normalizamos o vetor
:
Então,
- Em seguida, projetamos
em :
Calculando o produto interno
:
Então,
- Subtraímos essa projeção de
para obter o vetor ortogonal:
- Agora, normalizamos
para obter :
Então,
Resposta
A base ortonormal de
é composta pelos vetores:
e