Seja W o subespaço de R^4 gerado pelos vetores
V1=(1,2,0,1), V2=(0,1,1,-1), V3=(2,6,2,0) e V4=(-1,1,3,-4)
(b) Determine uma base e a dimensão de W.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base e a dimensão do subespaço WsubsetR^4 gerado pelos vetores
V1=(1,2,0,1), V2=(0,1,1,-1), V3=(2,6,2,0), V4=(-1,1,3,-4)
O conteúdo aqui é verificar dependência linear e extrair um conjunto de vetores independentes que geram W, ou seja, calcular o posto de uma matriz cujas colunas são esses vetores.

Passo 2

Monte a matriz cujas colunas são V1,V2,V3,V4:
A = 1 & 0 & 2 & -1 2 & 1 & 6 & 1 0 & 1 & 2 & 3 1 & -1 & 0 & -4
Vamos aplicar eliminação de Gauss para descobrir o posto e as colunas pivô.

Passo 3

Começando com o pivô em a11=1, eliminamos abaixo:
R2 & R2 - 2R1;Rightarrow;(0,1,2,3), R4 & R4 - R1;Rightarrow;(0,-1,-2,-3)
Isso leva a
1 & 0 & 2 & -1 0 & 1 & 2 & 3 0 & 1 & 2 & 3 0 & -1 & -2 & -3
Em seguida, com pivô em a22=1, eliminamos as linhas 3 e 4:
R3 R3 - R2;Rightarrow;(0,0,0,0), R4 R4 + R2;Rightarrow;(0,0,0,0),
obtendo a forma
1 & 0 & 2 & -1 0 & 1 & 2 & 3 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0

Passo 4

Da forma reduzida vemos que há pivôs nas colunas 1 e 2, logo rank(A)=2. Isto significa que apenas V1 e V2 são necessários para gerar todos os vetores dados, e que
V3=2V1+2V2, V4=-1,V1+3,V2

Passo 5

Concluímos que V1,V2 é um conjunto de geradores linearmente independentes de W. Assim, essa coleção forma uma base de W e o número de vetores dessa base é a dimensão de W.

Resposta

Uma base de W é
l(1,2,0,1),;(0,1,1,-1)r,
e dim W = 2.

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