Seja w um vetor ortogonal a u=(1,1,2) e a v=(-1,2,3). Sabendo que |w|=6, e que a base (u, w, v) tem orientação positiva, determine as coordenadas de w.

Passo 1

O enunciado pede um vetor w que seja ortogonal a
u=(1,1,2) e a v=(-1,2,3), com norma |w|=6, e tal que a base (u,w,v) tenha orienta\c{c}~{a}o positiva em R^3.
Vamos usar cross-product para achar a dire\c{c}~{a}o de w, depois ajustar o m’odulo e o sinal para garantir a orienta\c{c}~{a}o correta.

Passo 2

Um vetor ortogonal a u e v `e dado (at’e escala) por
utimes v = i & j & k 1 & 1 & 2 -1 & 2 & 3 = (-1,,-5,,3)

Passo 3

Escrevemos
w = lambda,(utimes v) = lambda,(-1,-5,3)
Da condição |w|=6 vem
|lambda|,|utimesv| =6, |utimesv| = raiz(-1)^2+(-5)^2+3^2 = raiz35,
logo
|lambda| = 6raiz35

Passo 4

Para a orientação positiva da base (u,w,v) é preciso
det[u,w,v]>0
Como det[u,utimes v,v]= -35, temos
det[u,lambda(utimes v),v] = lambdacdot(-35)>0 ;Longrightarrow;lambda<0
Portanto lambda=-6raiz35.

Passo 5

Substituindo em w=lambda(-1,-5,3) obtemos
w = -6raiz35;(-1,-5,3) = 6raiz35,(1,5,-3)

Resposta

w = 6raiz35,(1,5,-3).

Exercícios relacionados