Sejam u=(2,-2,1) e v=(3,-6,0).
Mostre que v-proju v é ortogonal a u.

Passo 1

O enunciado dá os vetores u=(2,-2,1) e v=(3,-6,0) e pede para mostrar que o vetor
w = v - projuv
é ortogonal a u. Vamos usar a definição de projeção ortogonal e a propriedade de que dois vetores são ortogonais se, e somente se, seu produto escalar for zero.

Passo 2

Calcular o produto escalar ucdotu.
ucdotu = 2^2 + (-2)^2 + 1^2 = 4 + 4 + 1 = 9

Passo 3

Calcular o produto escalar ucdotv.
ucdotv = 2cdot 3 + (-2)cdot(-6) + 1cdot 0 = 6 + 12 + 0 = 18

Passo 4

Escrever a projeção de v sobre u:
projuv = ucdotvucdotu;u = 189;(2,-2,1) = 2,(2,-2,1) = (4,-4,2)

Passo 5

Calcular o produto escalar entre u e w=v-projuv:
w = (3,-6,0) - (4,-4,2) = (-1,-2,-2),
ucdotw = (2,-2,1)cdot(-1,-2,-2) = 2cdot(-1) + (-2)cdot(-2) + 1cdot(-2) = -2 + 4 - 2 = 0

Passo 6

Como ucdotw=0, concluímos que w é ortogonal a u.

Resposta

Como o produto escalar entre u e v-projuv é zero, esse vetor é de fato ortogonal a u.

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