Seja
(a) Você pensa que
ou
?
(b) Some uma série geométrica para encontrar o valor de
.
(c) Quantas representações decimais o número 1 tem?
(d) Quais os números que têm mais de uma representação decimal?
(a) Você pensa que
(b) Some uma série geométrica para encontrar o valor de
(c) Quantas representações decimais o número 1 tem?
(d) Quais os números que têm mais de uma representação decimal?
Passo 1
O enunciado define
e faz quatro perguntas:
– (a) será que ou
?
– (b) usar uma série geométrica para encontrar .
– (c) quantas representações decimais o número tem?
– (d) quais números têm mais de uma representação decimal?
Para isso vamos usar o conceito de soma de séries infinitas e entender a ambiguidade das repetições de .
e faz quatro perguntas:
– (a) será que
– (b) usar uma série geométrica para encontrar
– (c) quantas representações decimais o número
– (d) quais números têm mais de uma representação decimal?
Para isso vamos usar o conceito de soma de séries infinitas e entender a ambiguidade das repetições de
Passo 2
Para responder a (a) observe que se aceitarmos que
então a diferença seria um número não negativo que, ao mesmo tempo, é menor que
para todo
. O único número que satisfaz isso é zero. Logo não faz sentido dizer
; concluímos que
.
então a diferença
Passo 3
Para (b), note que
é uma série geométrica de primeiro termo
e razão
. A soma de uma série geométrica infinita com
é
Aqui, reindexando em
tal que
e
, temos
Passo 4
Para (c), note que o número
pode ser escrito como
ou como
.
Não há outra forma distinta com dígitos decimais. Portanto, o número tem exatamente duas representações decimais.
ou como
Não há outra forma distinta com dígitos decimais. Portanto, o número
Passo 5
Para (d), em geral qualquer número cuja expansão decimal termina (isto é, que pode ser escrito como
para inteiros
) admite duas representações: uma com terminação em zeros e outra em noves repetidos. Por exemplo,
.
Logo todos os números racionais de denominador (em forma reduzida) contendo apenas fatores e
têm duas representações decimais.
Logo todos os números racionais de denominador (em forma reduzida) contendo apenas fatores
Resposta
(a)
.
(b) Somando a série geométrica obtemos
.
(c) O número tem exatamente duas representações decimais:
e
.
(d) Todos os números com expansão decimal finita (isto é, da forma ) têm duas representações, uma terminada em zeros e outra em noves repetidos.
(b) Somando a série geométrica
(c) O número
(d) Todos os números com expansão decimal finita (isto é, da forma