Seja x=0,99999 ldots
(a) Você pensa que x<1 ou x=1 ?
(b) Some uma série geométrica para encontrar o valor de x.
(c) Quantas representações decimais o número 1 tem?
(d) Quais os números que têm mais de uma representação decimal?

Passo 1

O enunciado define
x=0,99999ldots
e faz quatro perguntas:
– (a) será que ,x<1 ou ,x=1?
– (b) usar uma série geométrica para encontrar ,x.
– (c) quantas representações decimais o número 1 tem?
– (d) quais números têm mais de uma representação decimal?
Para isso vamos usar o conceito de soma de séries infinitas e entender a ambiguidade das repetições de 9.

Passo 2

Para responder a (a) observe que se aceitarmos que
x=0,9+0,09+0,009+cdots
então a diferença 1 - x seria um número não negativo que, ao mesmo tempo, é menor que 10^-n para todo ninN. O único número que satisfaz isso é zero. Logo não faz sentido dizer x<1; concluímos que
x=1.

Passo 3

Para (b), note que
x = 0,9 + 0,09 + 0,009 + cdots
é uma série geométrica de primeiro termo a=0,9 e razão r=0,1. A soma de uma série geométrica infinita com |r|<1 é
sumk=0^infty a,r^k = a1-r
Aqui, reindexando em k tal que a=0,9 e r=0,1, temos
x = 0,91 - 0,1 = 0,90,9 = 1

Passo 4

Para (c), note que o número 1 pode ser escrito como
,1,00000ldots
ou como
,0,99999ldots.
Não há outra forma distinta com dígitos decimais. Portanto, o número 1 tem exatamente duas representações decimais.

Passo 5

Para (d), em geral qualquer número cuja expansão decimal termina (isto é, que pode ser escrito como ,k/10^n para inteiros k,n) admite duas representações: uma com terminação em zeros e outra em noves repetidos. Por exemplo,
,0,5 = 0,5000ldots = 0,4999ldots.
Logo todos os números racionais de denominador (em forma reduzida) contendo apenas fatores 2 e 5 têm duas representações decimais.

Resposta

(a) x=1.
(b) Somando a série geométrica 0,9+0,09+0,009+cdots obtemos 1.
(c) O número 1 tem exatamente duas representações decimais: 1,0000ldots e 0,9999ldots.
(d) Todos os números com expansão decimal finita (isto é, da forma k/10^n) têm duas representações, uma terminada em zeros e outra em noves repetidos.

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