Seja X_{1}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória de uma distribuição Normal de média \theta e variância 4, isto é, X_{i} i.i.d. \mathrm{N}(\theta, 4). Verifique se Q=\bar{X}-\theta é uma quantidade pivotal.

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra aleatória X_{1},\dots,X_{n} de uma distribuição normal com média desconhecida \theta e variância 4. Queremos verificar se
Q = \bar{X} - \theta
é uma quantidade pivotal. Para isso, precisamos usar a definição de quantidade pivotal: é uma função dos dados e do parâmetro cujo distribuição não depende do parâmetro desconhecido.

Passo 2

Primeiro, encontramos a distribuição de \bar{X}. Como cada X_{i} é \mathrm{N}(\theta,4) e são independentes, sabe-se que a média amostral satisfaz
\bar{X} \sim \mathrm{N}\Bigl(\theta,\;\frac{4}{n}\Bigr).

Passo 3

Definimos Q = \bar{X} - \theta. Se \bar{X}\sim \mathrm{N}(\theta,4/n), então subtrair \theta desloca a média sem alterar a variância. Logo
Q \sim \mathrm{N}\Bigl(0,\;\frac{4}{n}\Bigr).
Observe que esta distribuição não depende de \theta.

Passo 4

Como a distribuição de Q não envolve o parâmetro \theta, concluímos que Q é de fato uma quantidade pivotal.

Resposta

Sim. Q=\bar{X}-\theta é uma quantidade pivotal, pois
Q\sim \mathrm{N}\Bigl(0,\tfrac{4}{n}\Bigr)
é uma lei que independe de \theta.

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