Seja
uma amostra aleatória de uma distribuição Normal de média
e variância 4, isto é,
i.i.d.
. Verifique se
é uma quantidade pivotal.
Passo 1
O enunciado nos dá uma amostra aleatória
de uma distribuição normal com média desconhecida
e variância
. Queremos verificar se
é uma quantidade pivotal. Para isso, precisamos usar a definição de quantidade pivotal: é uma função dos dados e do parâmetro cujo distribuição não depende do parâmetro desconhecido.
Passo 2
Primeiro, encontramos a distribuição de
. Como cada
é
e são independentes, sabe-se que a média amostral satisfaz
Passo 3
Definimos
. Se
, então subtrair
desloca a média sem alterar a variância. Logo
Observe que esta distribuição não depende de
.
Passo 4
Como a distribuição de
não envolve o parâmetro
, concluímos que
é de fato uma quantidade pivotal.
Resposta
Sim.
é uma quantidade pivotal, pois
é uma lei que independe de
.