Seja X_{1}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória da variável aleatória X com função densidade de probabilidade dada por
f(x \mid \theta)=\theta x^{\theta-1}, 0<x<1, \theta>0 .
Mostre que a função densidade de probabilidade pertence à família exponencial (considere a amostra aleatória).

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra aleatória X_{1},\dots,X_{n} com densidade
f(x\mid \theta)=\theta\,x^{\theta-1},\quad 0<x<1,\;\theta>0,
e pede para mostrar que essa família pertence à família exponencial. Para isso, vamos escrever a densidade conjunta na forma
h(x)\,\exp\bigl(\eta(\theta)\,T(x)+B(\theta)\bigr).

Passo 2

Escrevendo a densidade conjunta dos n pontos temos
L(\theta;x)=\prod_{i=1}^{n}f(x_{i}\mid \theta) =\prod_{i=1}^{n}\theta\,x_{i}^{\theta-1} =\theta^{n}\,\prod_{i=1}^{n}x_{i}^{\theta-1} =\theta^{n}\,\Bigl(\prod_{i=1}^{n}x_{i}\Bigr)^{\theta-1}.

Passo 3

Reescrevendo em termos de exponencial, note que
\Bigl(\prod_{i=1}^{n}x_{i}\Bigr)^{\theta-1} =\Bigl(\prod_{i=1}^{n}x_{i}\Bigr)^{-1} \exp\Bigl(\theta\sum_{i=1}^{n}\ln x_{i}\Bigr),
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L(\theta;x) =\Bigl(\prod_{i=1}^{n}x_{i}^{-1}\Bigr) \exp\Bigl(n\ln\theta+\theta\sum_{i=1}^{n}\ln x_{i}\Bigr).

Passo 4

Comparando com a forma de família exponencial uniparamétrica
L(\theta;x)=h(x)\,\exp\bigl(\eta(\theta)\,T(x)+B(\theta)\bigr),
identificamos
\displaystyle h(x)=\prod_{i=1}^{n}x_{i}^{-1},
\displaystyle T(x)=\sum_{i=1}^{n}\ln x_{i},
\displaystyle \eta(\theta)=\theta,
\displaystyle B(\theta)=n\ln\theta.

Resposta

A densidade conjunta pode ser escrita como
L(\theta;x) =\underbrace{\prod_{i=1}^{n}x_{i}^{-1}}_{h(x)} \exp\Bigl(\underbrace{\theta}_{\eta(\theta)}\underbrace{\sum_{i=1}^{n}\ln x_{i}}_{T(x)} +\underbrace{n\ln\theta}_{B(\theta)}\Bigr),
portanto a família é um caso de família exponencial, com estatística suficiente T(x)=\sum_{i=1}^{n}\ln x_{i}$.

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