Seja
uma amostra aleatória de
.
a) Especifique o espaço paramétrico e o suporte associado à distribuição de
.
b) Encontre uma estatística suficiente para
.
c) Mostre que a função densidade de probabilidade de
pertence à família exponencial.
a) Especifique o espaço paramétrico e o suporte associado à distribuição de
b) Encontre uma estatística suficiente para
c) Mostre que a função densidade de probabilidade de
Passo 1
O enunciado diz que temos uma amostra aleatória
de uma variável
. Precisamos:
- (a) identificar o espaço paramétrico
e o suporte da distribuição de ; - (b) encontrar uma estatística suficiente para
; - (c) mostrar que a densidade de probabilidade pertence à família exponencial.
Passo 2
Para responder (a), lembramos que em uma distribuição normal
o parâmetro é
, que deve ser positivo, e o suporte são todos os valores que
pode assumir. Assim,
pois
, e
já que uma normal centrada de variância
tem suporte em toda a reta real.
Passo 3
Para (b), usamos o Teorema de Fatorização de Neyman–Fisher. A função de densidade conjunta da amostra é
Aqui ela depende dos dados somente por
, então
é estatística suficiente para
.
Passo 4
Para (c), basta escrever a densidade no formato da família exponencial de parâmetro canônico
. Reescrevemos
Isso é da forma
com
,
,
,
e
. Logo a densidade está na família exponencial de parâmetro canônico
.
Resposta
a)
e
.
b)
é estatística suficiente para
.
c) A densidade conjunta pode ser escrita como
mostrando que ela pertence à família exponencial de parâmetro canônico
.