Seja X_{1}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória de X \sim \mathrm{~N}\left(0, \sigma^{2}\right).
a) Especifique o espaço paramétrico e o suporte associado à distribuição de X.
b) Encontre uma estatística suficiente para \sigma^{2}.
c) Mostre que a função densidade de probabilidade de X pertence à família exponencial.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma amostra aleatória X_{1},\dots,X_{n} de uma variável X\sim N(0,\sigma^{2}). Precisamos:
  • (a) identificar o espaço paramétrico \Theta e o suporte A da distribuição de X;
  • (b) encontrar uma estatística suficiente para \sigma^{2};
  • (c) mostrar que a densidade de probabilidade pertence à família exponencial.

Passo 2

Para responder (a), lembramos que em uma distribuição normal N(0,\sigma^{2}) o parâmetro é \sigma^{2}, que deve ser positivo, e o suporte são todos os valores que X pode assumir. Assim,
\Theta = (0,\infty)
pois \sigma^{2}>0, e
A = \mathbb{R},
já que uma normal centrada de variância \sigma^{2} tem suporte em toda a reta real.

Passo 3

Para (b), usamos o Teorema de Fatorização de Neyman–Fisher. A função de densidade conjunta da amostra é
f(x_{1},\dots,x_{n}\mid\sigma^{2}) =\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}} \exp\Bigl(-\frac{x_{i}^{2}}{2\sigma^{2}}\Bigr) =(2\pi\sigma^{2})^{-n/2}\, \exp\Bigl(-\frac{1}{2\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\Bigr).
Aqui ela depende dos dados somente por \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}, então
T(X_{1},\dots,X_{n}) =\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}
é estatística suficiente para \sigma^{2}.

Passo 4

Para (c), basta escrever a densidade no formato da família exponencial de parâmetro canônico \eta. Reescrevemos
f(x_{1},\dots,x_{n}\mid\sigma^{2}) =\exp\Bigl(-\tfrac{1}{2\sigma^{2}}\sum_{i}x_{i}^{2} -\tfrac{n}{2}\log(2\pi\sigma^{2})\Bigr).
Isso é da forma
f(x\mid\theta) =\exp\bigl(\eta(\theta)\,T(x)-A(\theta)+h(x)\bigr)
com
\theta=\sigma^{2}, \eta(\theta)=-\tfrac{1}{2\theta},
T(x)=\sum_{i}x_{i}^{2},
A(\theta)=\tfrac{n}{2}\log(2\pi\theta) e
h(x)=0. Logo a densidade está na família exponencial de parâmetro canônico \eta(\theta).

Resposta

a) \Theta=(0,\infty) e A=\mathbb{R}.
b) T(X)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2} é estatística suficiente para \sigma^{2}.
c) A densidade conjunta pode ser escrita como
\exp\Bigl(-\tfrac{1}{2\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2} -\tfrac{n}{2}\log(2\pi\sigma^{2})\Bigr),
mostrando que ela pertence à família exponencial de parâmetro canônico \eta(\sigma^{2})=-\tfrac{1}{2\sigma^{2}}.

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