Seja X_{1}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória de X \sim \operatorname{Binomial}(2, \theta).
a) Encontre uma estatística suficiente para \theta.
b) Mostre que a função densidade de probabilidade de X pertence à família exponencial.

Passo 1

O enunciado diz que X_{1},\dots,X_{n} são iid com distribuição \mathrm{Binomial}(2,\theta). Precisamos (a) encontrar uma estatística suficiente para \theta e (b) mostrar que a função de massa de probabilidade de X pertence à família exponencial. Vamos usar o Teorema da Fatorização para (a) e reescrever o pmf no formato canônico \displaystyle h(x)\exp\{\eta(\theta)T(x)-A(\theta)\} para (b).

Passo 2

Escrevendo a função de massa conjunta:
p(x_{1},\dots,x_{n};\theta) =\prod_{i=1}^{n}\Pr(X_{i}=x_{i}) =\prod_{i=1}^{n}\binom{2}{x_{i}}\theta^{x_{i}}(1-\theta)^{2-x_{i}}.
Agrupando os fatores que dependem de \theta em termos de T=\sum_{i=1}^{n}x_{i}, fica
p(x_{1},\dots,x_{n};\theta) =\Bigl(\prod_{i=1}^{n}\binom{2}{x_{i}}\Bigr)\, \theta^{\sum_{i=1}^{n}x_{i}} (1-\theta)^{2n-\sum_{i=1}^{n}x_{i}}.

Passo 3

Pelo Teorema da Fatorização, se pudermos escrever
p(x;\theta)=h(x)\;g\bigl(T(x);\theta\bigr)
com T(x)=\sum_{i=1}^{n}x_{i}, então T é suficiente para \theta. Aqui temos
h(x)=\prod_{i=1}^{n}\binom{2}{x_{i}}, \qquad g\bigl(T;\theta\bigr) =\theta^{T}(1-\theta)^{2n-T},
logo \displaystyle T(X)=\sum_{i=1}^{n}X_{i} é estatística suficiente para \theta.

Passo 4

Para mostrar que o pmf pertence à família exponencial, reescrevemos
\theta^{T}(1-\theta)^{2n-T} =\exp\Bigl(T\ln\theta+(2n-T)\ln(1-\theta)\Bigr) =\exp\Bigl(T\ln\frac{\theta}{1-\theta}+2n\ln(1-\theta)\Bigr).
Assim
p(x_{1},\dots,x_{n};\theta) =h(x)\, \exp\Bigl(T(x)\,\ln\frac{\theta}{1-\theta} +2n\ln(1-\theta)\Bigr),
em que identificamos a forma canônica com
\eta(\theta)=\ln\frac{\theta}{1-\theta}, \quad T(x)=\sum_{i=1}^{n}x_{i}, \quad A(\theta)=-2n\ln(1-\theta), \quad h(x)=\prod_{i=1}^{n}\binom{2}{x_{i}}.

Resposta

a) Uma estatística suficiente para \theta é
T(X)=\sum_{i=1}^{n}X_{i}.
b) A função de massa de probabilidade conjunta pode ser escrita na forma canônica da família exponencial com
h(x)=\prod_{i=1}^{n}\binom{2}{x_{i}}, \quad \eta(\theta)=\ln\frac{\theta}{1-\theta}, \quad T(x)=\sum_{i=1}^{n}x_{i}, \quad A(\theta)=-2n\ln(1-\theta).

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