Seja
uma amostra aleatória de
.
a) Encontre uma estatística suficiente para
.
b) Mostre que a função densidade de probabilidade de
pertence à família exponencial.
a) Encontre uma estatística suficiente para
b) Mostre que a função densidade de probabilidade de
Passo 1
O enunciado diz que
são iid com distribuição
. Precisamos (a) encontrar uma estatística suficiente para
e (b) mostrar que a função de massa de probabilidade de
pertence à família exponencial. Vamos usar o Teorema da Fatorização para (a) e reescrever o pmf no formato canônico
para (b).
Passo 2
Escrevendo a função de massa conjunta:
Agrupando os fatores que dependem de
em termos de
, fica
Passo 3
Pelo Teorema da Fatorização, se pudermos escrever
com
, então
é suficiente para
. Aqui temos
logo
é estatística suficiente para
.
Passo 4
Para mostrar que o pmf pertence à família exponencial, reescrevemos
Assim
em que identificamos a forma canônica com
Resposta
a) Uma estatística suficiente para
é
b) A função de massa de probabilidade conjunta pode ser escrita na forma canônica da família exponencial com