Seja
. Calcular:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição normal com média $ \mu = 120 $ e variância $ \sigma^2 = 16 $ (ou seja, desvio padrão $ \sigma = 4 $). Precisamos calcular a probabilidade de $ X $ estar entre 120 e 126, ou seja, $ P(120 \leq X \leq 126) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos da distribuição normal e os chamados valores $ Z $, que ajudam a padronizar os dados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a distribuição normal. Ela é uma distribuição de probabilidade em formato de sino, onde a maioria dos valores se concentra em torno da média. Para calcular probabilidades usando essa distribuição, frequentemente transformamos o valor de $ X $ em um valor $ Z $ padronizado, que nos diz quantos desvios padrão o valor está da média.
Passo 3
A fórmula para encontrar o valor $ Z $ é:
Vamos aplicar isso para os limites do nosso intervalo, 120 e 126.
Passo 4
Para $ X = 120 $:
Então, $ Z_1 = 0 $.
Passo 5
Para $ X = 126 $:
Então, $ Z_2 = 1.5 $.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar a probabilidade de $ Z $ estar entre 0 e 1.5. Isso é feito consultando uma tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora que forneça essa função.
Passo 7
Consultando a tabela ou usando uma calculadora, encontramos:
E sabemos que $ P(Z \leq 0) = 0.5 $, já que a média divide a distribuição normal ao meio.
Passo 8
Para encontrar $ P(0 \leq Z \leq 1.5) $, subtraímos:
Resposta
A probabilidade de $ 120 \leq X \leq 126 $ é aproximadamente $ 0.4332 $ ou 43,32%.