Seja X: \Omega \rightarrow C uma v.a. contínua tal que
f_{X}(x)=K \cdot\left(1-x^{2}\right),-1 \leq x \leq 1 .
a. Encontre o valor de K.
b. Calcule F_{X}(x):=\mathbb{P}(X \leq x) para todo x \in \mathbb{R}.
c. Calcule \mathbb{E}(X).
d. Calcule \operatorname{var}(X).

Passo 1

O enunciado define uma variável aleatória contínua X com densidade
f_{X}(x)=K\,(1 - x^{2}),\quad -1 \le x \le 1,
e pede:
1. o valor de K;
2. a função de distribuição F_{X}(x)=\mathbb{P}(X \le x);
3. \mathbb{E}(X);
4. \mathrm{Var}(X).
Para resolver precisamos usar integração de polinômios para normalizar a densidade, obter a CDF por integração da densidade, e calcular expectativas via integrais.

Passo 2

Para encontrar K impomos
\int_{-1}^{1}f_{X}(x)\,\mathrm{d}x =\int_{-1}^{1}K\,(1 - x^{2})\,\mathrm{d}x =1.
Calculemos a integral sem K:
\int_{-1}^{1}(1 - x^{2})\,\mathrm{d}x =\Bigl[x - \tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{-1}^{1} =(1 - \tfrac13)-\bigl(-1 + \tfrac13\bigr) =\tfrac{2}{3}+\tfrac{2}{3} =\tfrac{4}{3}.
Logo \;K\cdot\tfrac{4}{3}=1\implies K=\tfrac{3}{4}.

Passo 3

Para x\in\mathbb{R}
  • Se x< -1, então F_{X}(x)=0.
  • Se -1\le x\le1,
F_{X}(x) =\int_{-1}^{x}K\,(1 - t^{2})\,\mathrm{d}t =\tfrac{3}{4}\Bigl[t - \tfrac{t^{3}}{3}\Bigr]_{-1}^{x} =\tfrac{3}{4}\Bigl(x - \tfrac{x^{3}}{3} +1 - \tfrac{1}{3}\Bigr) =\tfrac{3x}{4}-\tfrac{x^{3}}{4}+\tfrac12.
  • Se x>1, então F_{X}(x)=1.

Passo 4

Como a densidade f_{X}(x)=K(1-x^{2}) é função par, o integrando x\,f_{X}(x) é ímpar. Portanto
\mathbb{E}(X) =\int_{-1}^{1}x\,f_{X}(x)\,\mathrm{d}x =0.

Passo 5

Calculamos \mathbb{E}(X^{2}) e usamos \mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}(X^{2})-[\mathbb{E}(X)]^{2}.
\mathbb{E}(X^{2}) =\int_{-1}^{1}x^{2}\,f_{X}(x)\,\mathrm{d}x =\tfrac{3}{4}\int_{-1}^{1}(x^{2}-x^{4})\,\mathrm{d}x =\tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{4}{15} =\tfrac{1}{5}.
Como \mathbb{E}(X)=0, segue
\mathrm{Var}(X)=\tfrac{1}{5}.

Resposta

K = \tfrac{3}{4}.\) Para a CDF \(F_{X}(x)\): \[F_{X}(x)= \begin{cases} 0, & x < -1, \\[0.5em] \tfrac{3x}{4} - \tfrac{x^{3}}{4} + \tfrac{1}{2}, & -1 \le x \le 1, \\[0.5em] 1, & x > 1. \end{cases}
\mathbb{E}(X) = 0.\] \(\mathrm{Var}(X) = \tfrac{1}{5}.]

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