Seja
uma v.a. contínua tal que
Essa é uma das versões da Distribuição Triangular (contínua).
a. Mostre que
.
b. Calcule
para todo
.
c. Mostre que
.
d. Mostre que
.
a. Mostre que
b. Calcule
c. Mostre que
d. Mostre que
Passo 1
O enunciado define uma variável aleatória contínua
com suporte em
e densidade
Precisamos mostrar que essa função é de fato uma densidade (parte a), obter a função de distribuição acumulada
(parte b), calcular
(parte c) e finalmente
(parte d).
Passo 2
Para verificar a normalização, integramos
sobre
. Como
fora de
, basta
Quebrando em duas partes,
Calculamos
e
Somando dá
. Logo
.
Passo 3
Para a função de distribuição
temos os casos:
- Se
, então . - Se
,
- Se
,
- Se
, então .
Passo 4
Para a esperança usamos a simetria da densidade (é uma função par vezes
, que é ímpar). Assim
Passo 5
Para a segunda ordem,
Calculamos
logo
Como
, segue
.
Resposta
(a)
(c)
.