Suponha que um fio de cobre esteja conduzindo uma corrente elétrica uniforme variando entre 0 e 200 mA . Definimos então para modelar essa situação uma v.a. X \sim U[0,200], isto é, tal que
f_{X}(x)=\frac{1}{200}, 0 \leq x \leq 200
a. Assumindo que em geral um choque elétrico de 100 mA seja considerado fatal para a maior parte dos seres humanos, calcule a probabilidade de que uma pessoa entrando em contato com o fio de cobre em questão receba uma corrente fatal, isto é, calcule \mathbb{P}(X \geq 100).
b. Com base na sua resposta ao item anterior, calcule a probabilidade de que uma pessoa entrando em contato com o fio de cobre em questão não receba uma corrente fatal, isto é, calcule \mathbb{P}(X<100).
c. Calcule o valor médio da corrente elétrica, \mathbb{E}(X).
d. Calcule a variância da corrente elétrica, \operatorname{var}(X).

Passo 1

O enunciado define uma variável aleatória contínua X com distribuição uniforme no intervalo [0,200] (corrente em mA). Precisamos usar as propriedades da distribuição \mathrm{Uniform}(a,b):
– Para probabilidade em intervalo, P(X\in[c,d])=\int_{c}^{d}\frac{1}{b-a}\,dx.
– O valor médio é \mathbb{E}(X)=\frac{a+b}{2}.
– A variância é \mathrm{var}(X)=\frac{(b-a)^2}{12}.

Passo 2

Para calcular \mathbb{P}(X\ge100), integramos a densidade de 100 até 200:
P(X\ge100) =\int_{100}^{200}\frac{1}{200}\,dx =\frac{200-100}{200} =0,5.
E, como P(X<100)=1-P(X\ge100), temos
P(X<100)=1-0,5=0,5.

Passo 3

O valor médio de X é
\mathbb{E}(X)=\frac{0+200}{2}=100\\ \text{mA}.

Passo 4

A variância de X é
\mathrm{var}(X)=\frac{(200-0)^2}{12} =\frac{40000}{12} =\frac{10000}{3}\approx3333,33\\ \text{mA}^2.

Resposta

(a) \mathbb{P}(X\ge100)=0,5
(b) \mathbb{P}(X<100)=0,5
(c) \mathbb{E}(X)=100\\ \text{mA}
(d) \mathrm{var}(X)=\frac{10000}{3}\\ \text{mA}^2\approx3333,33\\ \text{mA}^2

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