Sejam X_{1} \sim U[0,1] e X_{2} \sim U[0,1] duas v.a.'s independentes.
Calcule P\left(0 \leq X_{1} \leq 1 / 3,0 \leq X_{2} \leq 1 / 3\right).

Passo 1

O enunciado apresenta duas variáveis aleatórias independentes X_{1} e X_{2}, cada uma com distribuição uniforme em [0,1]. Precisamos calcular a probabilidade conjunta
P\bigl(0 \le X_{1} \le \tfrac{1}{3},\;0 \le X_{2} \le \tfrac{1}{3}\bigr).
O conteúdo envolvido é probabilidade de variável contínua uniforme e uso da independência para calcular probabilidades conjuntas.

Passo 2

Para uma variável aleatória X\sim U[0,1], a probabilidade de X cair em um subintervalo [a,b]\subseteq[0,1] é igual ao comprimento do intervalo:
P\bigl(a \le X \le b\bigr) = b - a.
Assim,
P\bigl(0 \le X_{1} \le \tfrac{1}{3}\bigr) = \tfrac{1}{3} \quad\text{e}\quad P\bigl(0 \le X_{2} \le \tfrac{1}{3}\bigr) = \tfrac{1}{3}.

Passo 3

Como X_{1} e X_{2} são independentes, a probabilidade conjunta do evento é o produto das probabilidades marginais:
P\bigl(0 \le X_{1} \le \tfrac{1}{3},\;0 \le X_{2} \le \tfrac{1}{3}\bigr) = P\bigl(0 \le X_{1} \le \tfrac{1}{3}\bigr)\;\times\;P\bigl(0 \le X_{2} \le \tfrac{1}{3}\bigr).

Passo 4

Substituindo os valores:
P\bigl(0 \le X_{1} \le \tfrac{1}{3},\;0 \le X_{2} \le \tfrac{1}{3}\bigr) = \tfrac{1}{3} \times \tfrac{1}{3} = \tfrac{1}{9}.

Resposta

\tfrac{1}{9}

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