Sejam \mu, \sigma \in \mathbb{R}, onde \sigma>0. Dizemos que uma variável aleatória contínua X é normalmente distribuída com média \mu e variância \sigma^{2} (ou seja, X \sim \mathcal{N}\left(\mu, \sigma^{2}\right) ) quando sua função densidade de probabilidade é tal que
onde \mu\in\mathbb{R} e \sigma>0. Pede-se:
(a) mostrar que E(X)=\mu,
(b) mostrar que \operatorname{Var}(X)=\sigma^{2}.
Informações relevantes listadas:
A densidade p(x) está definida para todo x\in(-\infty,\infty).
A expectativa de X é dada pelo integral E(X)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x\,p(x)\,dx.
A variância pode ser calculada como \operatorname{Var}(X)=E\big[(X-E(X))^{2}\big]; aqui podemos usar \operatorname{Var}(X)=E\big[(X-\mu)^{2}\big] se já soubermos que E(X)=\mu.
Passo 2
Definimos a expectativa pela integral:
E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x\,p(x)\,dx.
Vou explicar a técnica principal: faremos a mudança de variávelcentral que transforma a normal geral numa normal padrão. Essa mudança é
z=\frac{x-\mu}{\sigma},
ou seja, x=\mu+\sigma z. Também temos dx=\sigma\,dz. Os limites -\infty e +\infty permanecem os mesmos. Essa mudança é útil porque a parte exponencial fica simétrica e conhecida.
Essa integral vale 0 porque a função z\,e^{-z^{2}/2} é ímpar: para cada z positivo há contribuição oposta em -z. Formalmente, a integral de uma função ímpar em (-\infty,\infty) é 0.
Usamos integração por partes. Escreva z^{2}e^{-z^{2}/2}=z\cdot\big(z e^{-z^{2}/2}\big). Tome u=z e dv=z e^{-z^{2}/2}\,dz. Então du=dz e, já que \frac{d}{dz}\big(e^{-z^{2}/2}\big)=-z e^{-z^{2}/2}, temos v=-e^{-z^{2}/2}. Assim
O termo de fronteira \displaystyle\lim_{z\to\pm\infty} z e^{-z^{2}/2}=0 porque a exponencial decai muito mais rápido que o crescimento linear de z. Portanto