Três moedas viciadas são lançadas de forma independente. As probabilidades de obter cara em cada moeda são, respectivamente,
e
. Seja
a variável aleatória que representa a diferença entre o número de caras e o número de coroas obtidos ao lançar as três moedas viciadas.
(a) Determine a função de probabilidade da variável aleatória
, que representa a diferença entre o número de caras e o número de coroas obtidos ao lançar as três moedas viciadas.
(b) Calcule a esperança
, a variância
e o desvio padrão de
.
(a) Determine a função de probabilidade da variável aleatória
(b) Calcule a esperança
Passo 1
Resumindo: lançamos três moedas viciadas, com probabilidades de cara
,
e
, de forma independente. Definimos
Precisamos (a) obter a função de probabilidade de
e (b) calcular
,
e o desvio padrão de
.
Passo 2
Seja
o número de caras obtidas. Então o número de coroas é
e
Como
, os valores possíveis de
são
Passo 3
Definimos também as probabilidades de coroa
:
Agora calculamos
para cada
:
Passo 4
Mapeando para
, obtemos a função de probabilidade:
Passo 5
Calculamos a esperança por definição:
Passo 6
Para a variância, note que podemos escrever
, onde cada
vale
em cara e
em coroa. Então
Como são independentes,
Passo 7
O desvio padrão é
Resposta
(a) A função de probabilidade de
é
(b)