Três moedas viciadas são lançadas de forma independente. As probabilidades de obter cara em cada moeda são, respectivamente, \frac{1}{3}, \frac{1}{9} e \frac{1}{27}. Seja X a variável aleatória que representa a diferença entre o número de caras e o número de coroas obtidos ao lançar as três moedas viciadas.
(a) Determine a função de probabilidade da variável aleatória X, que representa a diferença entre o número de caras e o número de coroas obtidos ao lançar as três moedas viciadas.
(b) Calcule a esperança E(X), a variância V(X) e o desvio padrão de X.

Passo 1

Resumindo: lançamos três moedas viciadas, com probabilidades de cara p_1=\frac{1}{3}, p_2=\frac{1}{9} e p_3=\frac{1}{27}, de forma independente. Definimos
X = (\text{número de caras}) - (\text{número de coroas}).úú
Precisamos (a) obter a função de probabilidade de X e (b) calcular E(X), \mathrm{Var}(X) e o desvio padrão de X.

Passo 2

Seja k o número de caras obtidas. Então o número de coroas é 3-k e
X = k - (3-k) = 2k - 3.
Como k\in\{0,1,2,3\}, os valores possíveis de X são
-3,\,-1,\,1,\,3.

Passo 3

Definimos também as probabilidades de coroa q_i = 1-p_i:
q_1 = \frac{2}{3},\quad q_2 = \frac{8}{9},\quad q_3 = \frac{26}{27}.
Agora calculamos P(k\text{ caras}) para cada k:
P(k=0) = q_1\,q_2\,q_3 = \frac{2}{3}\cdot\frac{8}{9}\cdot\frac{26}{27} = \frac{416}{729}.
P(k=3) = p_1\,p_2\,p_3 = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{27} = \frac{1}{729}.
P(k=1) = p_1q_2q_3 + q_1p_2q_3 + q_1q_2p_3 = \frac{208}{729} + \frac{52}{729} + \frac{16}{729} = \frac{276}{729}.
P(k=2) = p_1p_2q_3 + p_1q_2p_3 + q_1p_2p_3 = \frac{26}{729} + \frac{8}{729} + \frac{2}{729} = \frac{36}{729}.

Passo 4

Mapeando para X=2k-3, obtemos a função de probabilidade:
P(X=-3) = \frac{416}{729},\quad P(X=-1) = \frac{276}{729},\quad P(X=1) = \frac{36}{729},\quad P(X=3) = \frac{1}{729}.

Passo 5

Calculamos a esperança por definição:
E(X) = -3\frac{416}{729} \;-\;1\frac{276}{729}\;+\;1\frac{36}{729}\;+\;3\frac{1}{729} = \frac{-1485}{729} = -\frac{55}{27}.

Passo 6

Para a variância, note que podemos escrever X = X_1+X_2+X_3, onde cada X_i vale +1 em cara e -1 em coroa. Então
E(X_i) = 2p_i-1, \quad \mathrm{Var}(X_i) = 1 - (2p_i-1)^2 = 4p_i(1-p_i).
Como são independentes,
\mathrm{Var}(X) = \sum_{i=1}^3 4p_i(1-p_i) = 4\Bigl(\tfrac{2}{9}+\tfrac{8}{81}+\tfrac{26}{729}\Bigr) = \frac{1040}{729}.

Passo 7

O desvio padrão é
\sigma_X = \sqrt{\mathrm{Var}(X)} = \sqrt{\frac{1040}{729}} = \frac{4\sqrt{65}}{27}.

Resposta

(a) A função de probabilidade de X é
P_X(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{416}{729},& x=-3,\\[6pt] \displaystyle \frac{276}{729},& x=-1,\\[6pt] \displaystyle \frac{36}{729},& x=1,\\[6pt] \displaystyle \frac{1}{729},& x=3,\\[3pt] 0,& \text{caso contrário.} \end{cases}á
(b)
E(X) = -\frac{55}{27},\quad \mathrm{Var}(X) = \frac{1040}{729},\quad \sigma(X) = \frac{4\sqrt{65}}{27}.]

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