Beleza, o enunciado diz que temos uma variável aleatória que segue a distribuição normal com média zero e variância , ou seja
A gente quer achar a densidade de probabilidade de
Isso é um problema de “transformação de variáveis” em que a função não é monotônica no domínio todo, então vamos usar o método de quebrar em partes monotônicas.
Passo 2
Primeiro, lembra da pdf de :
Como , pra cada valor existem dois que dão , a saber:
1)
2) .
Para aplicar a fórmula de transformação em pedaços monotônicos, usamos
e fY(y)=0 para y<0.
Passo 3
Calcular as derivadas das inversas:
Para x1 = y, temos dx1/dy = 1.
Para x2 = -y, temos dx2/dy = -1, mas como entramos no valor absoluto, l|dx2/dyr| = 1.
Passo 4
Agora é só juntar tudo:
Para y>=0,
fY(y) = fX(y)cdot1 + fX(-y)cdot1 = fX(y) + fX(-y)
Mas a normal N(0,sigma^2) é simétrica, então fX(y)=fX(-y). Logo