Seja X sim N(0, sigma^2). Obtenha a densidade de:
Y=|X|

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma variável aleatória X que segue a distribuição normal com média zero e variância sigma^2, ou seja
X sim N(0,sigma^2)
A gente quer achar a densidade de probabilidade de
Y = |X|
Isso é um problema de “transformação de variáveis” em que a função g(x)=|x| não é monotônica no domínio todo, então vamos usar o método de quebrar em partes monotônicas.

Passo 2

Primeiro, lembra da pdf de X:
fX(x) = 1sigmaraiz2piexp!l(-x^22sigma^2r), xinR
Como Y=|X|, pra cada valor y>=0 existem dois x que dão |x|=y, a saber:
1) x1 = y
2) x2 = -y.
Para aplicar a fórmula de transformação em pedaços monotônicos, usamos
fY(y) = sumi=1^2 fX(xi),l|tfracdxidyr|, y>=0,
e fY(y)=0 para y<0.

Passo 3

Calcular as derivadas das inversas:
  • Para x1 = y, temos dx1/dy = 1.
  • Para x2 = -y, temos dx2/dy = -1, mas como entramos no valor absoluto, l|dx2/dyr| = 1.

Passo 4

Agora é só juntar tudo:
Para y>=0,
fY(y) = fX(y)cdot1 + fX(-y)cdot1 = fX(y) + fX(-y)
Mas a normal N(0,sigma^2) é simétrica, então fX(y)=fX(-y). Logo
fY(y) = 2,fX(y) = 2cdot1sigmaraiz2piexp!l(-y^22sigma^2r)

Resposta

A densidade de Y=|X| é
fY(y) = 2sigmaraiz2pi exp!l(-y^22sigma^2r), & y>=0,[6pt] 0, & y<0

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