Supondo que a expectativa de vida de indivíduos de uma população, em anos, siga o modelo exponencial com média 60:
Calcule o valor de m tal que P(X>m)=1 / 2.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
  • A variável aleatória X (expectativa de vida, em anos) segue um modelo exponencial.
  • A média é \mathbb{E}[X]=60 (anos).
  • Pedido: encontrar m tal que P(X>m)=\tfrac{1}{2}.

Passo 2

Lembrando o comportamento da distribuição exponencial (a explicação é curta e prática para usar na prova).
  • A distribuição exponencial é caracterizada por um parâmetro \lambda>0, chamado de taxa (rate).
  • A função densidade de probabilidade para x\ge 0 é
f(x)=\lambda e^{-\lambda x}.
  • A função de sobrevivência (probabilidade de exceder x) é
P(X>x)=e^{-\lambda x}.
  • A esperança (média) da exponencial é dada por
\mathbb{E}[X]=\frac{1}{\lambda}.
Explicação rápida de por que \mathbb{E}[X]=1/\lambda: calcular \mathbb{E}[X]=\int_{0}^{\infty} x\lambda e^{-\lambda x}\,dx. Fazendo integração por partes obtém-se
\int_{0}^{\infty} x e^{-\lambda x}\,dx=\frac{1}{\lambda^{2}},
logo \mathbb{E}[X]=\lambda\cdot\frac{1}{\lambda^{2}}=\frac{1}{\lambda}.

Passo 3

Usar a média que o enunciado deu para encontrar \lambda.
\mathbb{E}[X]=\frac{1}{\lambda}=60 \quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{1}{60}.

Passo 4

Usar a função de sobrevivência para achar m. Queremos P(X>m)=\tfrac{1}{2}, e
P(X>m)=e^{-\lambda m}=\tfrac{1}{2}.
Tomando logaritmo natural:
-\lambda m=\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\ln 2 \quad\Rightarrow\quad m=\frac{\ln 2}{\lambda}.
Substituindo \lambda=\tfrac{1}{60}:
m=60\ln 2.

Passo 5

Cálculo numérico e interpretação prática:
\ln 2\approx 0{,}693147\quad\Rightarrow\quad m=60\times 0{,}693147\approx 41{,}5888.
Arredondando para duas casas decimais fica aproximadamente 41{,}59 anos. Esse m é a mediana da distribuição: metade dos indivíduos vive mais que m e metade vive menos.

Resposta

\;m=60\ln 2\approx 41{,}59\\ \text{anos}

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