Seja
uma v.a. continua com densidade
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Obtenha uma fórmula para a densidade de
em termos de
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Obtenha uma fórmula para a densidade de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória contínua $ X $ com densidade $ f $. A pergunta é: qual é a densidade de $ Y = |X| $ em termos de $ f $? Vamos precisar usar conceitos de transformação de variáveis aleatórias e propriedades de funções densidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ Y = |X| $. Isso quer dizer que $ Y $ é o valor absoluto de $ X $. Então, se $ X $ puder ser positivo ou negativo, $ Y $ vai sempre ser positivo ou zero.
Passo 3
Para encontrar a densidade de $ Y $, vamos lembrar que a densidade de uma variável transformada pode ser obtida usando a fórmula de mudança de variável. No nosso caso, como $ Y = |X| $, precisamos considerar os valores positivos e negativos de $ X $ que resultam no mesmo valor de $ Y $.
Passo 4
Especificamente, para cada $ y > 0 $, existem dois valores de $ X $ que satisfazem $ Y = |X| $: $ X = y $ e $ X = -y $. Portanto, a densidade de $ Y $ será a soma das densidades de $ X $ nesses dois pontos.
Passo 5
Matematicamente, isso fica assim:
Aqui, $ \frac{d}{dy}(y) = 1 $ e $ \frac{d}{dy}(-y) = -1 $, mas como estamos usando o valor absoluto, ambos os termos multiplicam por 1.
Passo 6
Simplificando, temos:
Isso porque os valores absolutos das derivadas são 1.
Passo 7
Essa é a fórmula para a densidade de $ Y = |X| $ em termos da densidade original $ f $ de $ X $. Assim, para qualquer $ y \geq 0 $, a densidade de $ Y $ é a soma das densidades de $ X $ em $ y $ e em $ -y $.
Resposta
A densidade de $ Y = |X| $ é dada por: