Seja X uma v.a. com Distribuição Exponencial com taxa \lambda=2. Denotamos então X \sim \operatorname{Exp}(2), e a função de densidade de X é dada por
f_{X}(x)=2 e^{-2 x}, x>0
Calcule \mathbb{E}(X).

Passo 1

O enunciado diz que X tem distribuição exponencial com taxa \lambda=2, ou seja
f_{X}(x)=2e^{-2x},\quad x>0,
e pede \mathbb{E}(X). Para variáveis contínuas usamos a definição
\mathbb{E}(X)=\int_{0}^{\infty}x\,f_{X}(x)\,dx.

Passo 2

Aplicamos a definição:
\mathbb{E}(X) =\int_{0}^{\infty}x\bigl(2e^{-2x}\bigr)\,dx =\int_{0}^{\infty}2x\,e^{-2x}\,dx.

Passo 3

Para calcular \displaystyle\int_{0}^{\infty}2x\,e^{-2x}\,dx, use integração por partes com
u = x,\quad dv = 2e^{-2x}\,dx \;\Longrightarrow\; du = dx,\quad v = -e^{-2x}.
Então
\int_{0}^{\infty}2x\,e^{-2x}\,dx =\bigl[-x\,e^{-2x}\bigr]_{0}^{\infty} -\int_{0}^{\infty}\bigl(-e^{-2x}\bigr)\,dx =0+\int_{0}^{\infty}e^{-2x}\,dx =\left[-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\right]_{0}^{\infty} =\tfrac12.

Resposta

\displaystyle \mathbb{E}(X)=\tfrac12.

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