Seja X uma v.a. com Distribuição Exponencial com taxa \lambda=2. Denotamos então X \sim \operatorname{Exp}(2), e a função de densidade de X é dada por
f_{X}(x)=2 e^{-2 x}, x>0
Calcule \operatorname{var}(X).

Passo 1

O enunciado diz que X é uma variável aleatória com distribuição exponencial de taxa \lambda=2, ou seja,
f_{X}(x)=2e^{-2x},\quad x>0.
Queremos calcular \operatorname{var}(X). Para isso, vamos usar a definição
\operatorname{var}(X)=\mathbb{E}[X^{2}]-\bigl(\mathbb{E}[X]\bigr)^{2},
então precisamos encontrar \mathbb{E}[X] e \mathbb{E}[X^{2}].

Passo 2

Calcular \mathbb{E}[X] pela integral
\mathbb{E}[X] =\int_{0}^{\infty}x\,f_{X}(x)\,dx =\int_{0}^{\infty}x\cdot 2e^{-2x}\,dx.
Para resolver usamos a fórmula do integral de Gamma:
\int_{0}^{\infty}x\,e^{-ax}\,dx=\frac{1}{a^{2}}, \quad a>0.

Passo 3

Aplicando com a=2, temos
\mathbb{E}[X] =2\int_{0}^{\infty}x\,e^{-2x}\,dx =2\cdot\frac{1}{2^{2}} =2\cdot\frac{1}{4} =\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Calcular \mathbb{E}[X^{2}] pela integral
\mathbb{E}[X^{2}] =\int_{0}^{\infty}x^{2}\,2e^{-2x}\,dx.
Usando a fórmula geral
\int_{0}^{\infty}x^{2}e^{-ax}\,dx=\frac{2}{a^{3}},
com a=2, obtemos
\mathbb{E}[X^{2}] =2\cdot\frac{2}{2^{3}} =2\cdot\frac{2}{8} =\frac{4}{8} =\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Agora a variância é
\operatorname{var}(X) =\mathbb{E}[X^{2}]-\bigl(\mathbb{E}[X]\bigr)^{2} =\tfrac{1}{2}-\Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr)^{2} =\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4} =\tfrac{1}{4}.

Resposta

\operatorname{var}(X)=\tfrac{1}{4}.

Exercícios relacionados