Suponha que estejamos estudando o tempo de vida útil de um certo tipo de lâmpada LED (do inglês light-emitting diode, ou “diodo emissor de luz”). Como as lâmpadas de LED em geral não queimam devido à degradação ao longo do tempo mas devido à falhas nos seus circuitos, essa é uma situação propícia para o uso de um Modelo Exponencial.
No caso específico dessa questão, suponha que o tempo de vida útil médio das lâmpadas sendo estudadas é de 1.000 horas. Dessa forma, decidimos modelar seu tempo de vida através de uma v.a.
X \sim \operatorname{Exp}(1 / 1.000).
a. Qual é o tempo de vida útil médio das lâmpadas,
\mathbb{E}(X) ?
b. Qual é a variância do tempo de vida útil das lâmpadas,
\operatorname{var}(X) ?
c. Suponha que, afim de aferir a qualidade em seu processo de produção, estejamos interessados em um tempo de vida “mínimo”
x tal que
95 \% das lâmpadas produzidas tenham um tempo de vida útil maior ou igual a
x. Encontre então
x como o número tal que
\mathbb{P}(X \geq x)=0,95.
d. Com base na sua resposta ao item anterior, encontre agora
x tal que
\mathbb{P}(X \leq x)=0,05.
e. Suponha que agora estejamos interessados na probabilidade de que uma lâmpada exceda seu tempo de vida útil médio. Calcule então
\mathbb{P}(X \geq 1.000).
f. Com base em sua resposta ao item anterior, calcule a probabilidade de que uma lâmpada exceda 2 vezes seu tempo de vida útil médio, dado que essa lâmpada já tenha tido um tempo de vida útil maior do que seu tempo médio, isto é, calcule
\mathbb{P}(X \geq 2.000 \mid X \geq 1.000).