Suponha que estejamos estudando o tempo de vida útil de um certo tipo de lâmpada LED (do inglês light-emitting diode, ou “diodo emissor de luz”). Como as lâmpadas de LED em geral não queimam devido à degradação ao longo do tempo mas devido à falhas nos seus circuitos, essa é uma situação propícia para o uso de um Modelo Exponencial.
No caso específico dessa questão, suponha que o tempo de vida útil médio das lâmpadas sendo estudadas é de 1.000 horas. Dessa forma, decidimos modelar seu tempo de vida através de uma v.a.
.
a. Qual é o tempo de vida útil médio das lâmpadas,
?
b. Qual é a variância do tempo de vida útil das lâmpadas,
?
c. Suponha que, afim de aferir a qualidade em seu processo de produção, estejamos interessados em um tempo de vida “mínimo”
tal que
das lâmpadas produzidas tenham um tempo de vida útil maior ou igual a
. Encontre então
como o número tal que
.
d. Com base na sua resposta ao item anterior, encontre agora
tal que
.
e. Suponha que agora estejamos interessados na probabilidade de que uma lâmpada exceda seu tempo de vida útil médio. Calcule então
1.000).
f. Com base em sua resposta ao item anterior, calcule a probabilidade de que uma lâmpada exceda 2 vezes seu tempo de vida útil médio, dado que essa lâmpada já tenha tido um tempo de vida útil maior do que seu tempo médio, isto é, calcule
.
a. Qual é o tempo de vida útil médio das lâmpadas,
b. Qual é a variância do tempo de vida útil das lâmpadas,
c. Suponha que, afim de aferir a qualidade em seu processo de produção, estejamos interessados em um tempo de vida “mínimo”
d. Com base na sua resposta ao item anterior, encontre agora
e. Suponha que agora estejamos interessados na probabilidade de que uma lâmpada exceda seu tempo de vida útil médio. Calcule então
f. Com base em sua resposta ao item anterior, calcule a probabilidade de que uma lâmpada exceda 2 vezes seu tempo de vida útil médio, dado que essa lâmpada já tenha tido um tempo de vida útil maior do que seu tempo médio, isto é, calcule
Passo 1
O enunciado diz que o tempo de vida
das lâmpadas segue uma distribuição Exponencial com parâmetro
Estamos trabalhando com Expectation, Variância, quantis e propriedades de falta de memória da Exp(
).
Passo 2
Para uma v.a.
, sabe-se que
Aqui
, logo
Passo 3
Também é padrão que
Substituindo
, obtemos
Passo 4
Queremos
tal que
Para Exp(
) vale
. Logo
Com
,
Passo 5
Agora queremos
tal que
Como
, impomos
que é o mesmo da parte (c). Portanto
Passo 6
Para saber
, usamos direto
Passo 7
Finalmente, pela propriedade de falta de memória da exponencial,
Resposta
a.
horas.
b. horas
.
c. horas.
d. horas (mesmo valor).
e.
f.
b.
c.
d.
e.
f.