Suponha que estejamos estudando o tempo de vida útil de um certo tipo de lâmpada LED (do inglês light-emitting diode, ou “diodo emissor de luz”). Como as lâmpadas de LED em geral não queimam devido à degradação ao longo do tempo mas devido à falhas nos seus circuitos, essa é uma situação propícia para o uso de um Modelo Exponencial.
No caso específico dessa questão, suponha que o tempo de vida útil médio das lâmpadas sendo estudadas é de 1.000 horas. Dessa forma, decidimos modelar seu tempo de vida através de uma v.a. X \sim \operatorname{Exp}(1 / 1.000).
a. Qual é o tempo de vida útil médio das lâmpadas, \mathbb{E}(X) ?
b. Qual é a variância do tempo de vida útil das lâmpadas, \operatorname{var}(X) ?
c. Suponha que, afim de aferir a qualidade em seu processo de produção, estejamos interessados em um tempo de vida “mínimo” x tal que 95 \% das lâmpadas produzidas tenham um tempo de vida útil maior ou igual a x. Encontre então x como o número tal que \mathbb{P}(X \geq x)=0,95.
d. Com base na sua resposta ao item anterior, encontre agora x tal que \mathbb{P}(X \leq x)=0,05.
e. Suponha que agora estejamos interessados na probabilidade de que uma lâmpada exceda seu tempo de vida útil médio. Calcule então \mathbb{P}(X \geq 1.000).
f. Com base em sua resposta ao item anterior, calcule a probabilidade de que uma lâmpada exceda 2 vezes seu tempo de vida útil médio, dado que essa lâmpada já tenha tido um tempo de vida útil maior do que seu tempo médio, isto é, calcule \mathbb{P}(X \geq 2.000 \mid X \geq 1.000).

Passo 1

O enunciado diz que o tempo de vida X das lâmpadas segue uma distribuição Exponencial com parâmetro
\lambda = \frac{1}{1000}.
Estamos trabalhando com Expectation, Variância, quantis e propriedades de falta de memória da Exp( \lambda).

Passo 2

Para uma v.a. X\sim \mathrm{Exp}(\lambda), sabe-se que
\mathbb{E}(X) = \frac{1}{\lambda}.
Aqui \lambda = 1/1000, logo
\mathbb{E}(X) = 1000\\ \text{horas}.

Passo 3

Também é padrão que
\operatorname{var}(X) = \frac{1}{\lambda^2}.
Substituindo \lambda = 1/1000, obtemos
\operatorname{var}(X) = (1000)^2 = 10^6\\ \text{(horas)}^2.

Passo 4

Queremos x tal que
\mathbb{P}(X \ge x) = 0{,}95.
Para Exp( \lambda) vale \mathbb{P}(X\ge x)=e^{-\lambda x}. Logo
e^{-\lambda x} = 0{,}95 \quad\Longrightarrow\quad -\lambda x = \ln(0{,}95) \quad\Longrightarrow\quad x = -\frac{1}{\lambda}\ln(0{,}95).
Com \lambda = 1/1000,
x = -1000\ln(0{,}95)\approx 51{,}29\\ \text{horas}.

Passo 5

Agora queremos x tal que
\mathbb{P}(X \le x) = 0{,}05.
Como \mathbb{P}(X\le x)=1-e^{-\lambda x}, impomos
1 - e^{-\lambda x} = 0{,}05 \quad\Longrightarrow\quad e^{-\lambda x}=0{,}95
que é o mesmo da parte (c). Portanto
x = -1000\ln(0{,}95)\approx 51{,}29\\ \text{horas}.

Passo 6

Para saber \mathbb{P}(X \ge 1000), usamos direto
\mathbb{P}(X \ge 1000) = e^{-\lambda\cdot 1000} = e^{-1}\approx 0{,}3679.

Passo 7

Finalmente, pela propriedade de falta de memória da exponencial,
\mathbb{P}(X \ge 2000 \mid X \ge 1000) = \mathbb{P}(X \ge 2000 - 1000) = \mathbb{P}(X \ge 1000) = e^{-1}\approx 0{,}3679.

Resposta

a. \mathbb{E}(X)=1000 horas.
b. \operatorname{var}(X)=10^{6} horas ^2.
c. x=-1000\ln(0{,}95)\approx 51{,}29 horas.
d. x\approx 51{,}29 horas (mesmo valor).
e. \mathbb{P}(X\ge1000)=e^{-1}\approx0{,}3679.
f. \mathbb{P}(X\ge2000\mid X\ge1000)=e^{-1}\approx0{,}3679.

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