Sejam X_{1} \sim U[0,1] e X_{2} \sim U[0,1] duas v.a.'s independentes.
Calcule P\left(2 / 3 \leq X_{1} \leq 1,2 / 3 \leq X_{2} \leq 1\right).

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de dois v.a.'s independentes X_{1},X_{2}\sim U[0,1] caírem simultaneamente no intervalo [2/3,1]. Como são uniformes, cada probabilidade em um subintervalo é igual ao tamanho desse intervalo.

Passo 2

Para uma v.a. X\sim U[0,1], vale
P\bigl(2/3 \le X \le 1\bigr) =1 - \tfrac{2}{3} =\tfrac{1}{3}.
Logo,
P\bigl(2/3 \le X_{1} \le 1\bigr) = P\bigl(2/3 \le X_{2} \le 1\bigr) =\tfrac{1}{3}.

Passo 3

Pela independência de X_{1} e X_{2},
P\bigl(2/3\le X_{1}\le1,\;2/3\le X_{2}\le1\bigr) = P\bigl(2/3\le X_{1}\le1\bigr)\cdot P\bigl(2/3\le X_{2}\le1\bigr) = \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{3} = \tfrac{1}{9}.

Resposta

\displaystyle \tfrac{1}{9}

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