Seja X uma v. a, onde: E(X)=10 e v(X)=16. Foi criada uma nova v cdot a Y=(3 X+52). Calcule E(Y) e V(Y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X $ com média $ \mathrm{E}(X) = 10 $ e variância $ \mathrm{V}(X) = 16 $. Criaram uma nova variável $ Y = \left(\frac{3X + 5}{2}\right) $. Nosso objetivo é calcular a média $ \mathrm{E}(Y) $ e a variância $ \mathrm{V}(Y) $. Para isso, vamos usar propriedades de transformação de variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média de $ Y $. Sabemos que quando transformamos uma variável aleatória linearmente, a média também muda de forma linear. A fórmula geral para a média de $ Y = aX + b $ é:
Y
No nosso caso, $ Y = \frac{3X + 5}{2} $. Podemos reescrever isso como $ Y = \frac{3}{2}X + \frac{5}{2} $. Assim, $ a = \frac{3}{2} $ e $ b = \frac{5}{2} $.

Passo 3

Aplicando a fórmula da média:
E(Y) = 32 cdot E(X) + 52 = 32 cdot 10 + 52 = 15 + 2,5 = 17,5
Então, a média de $ Y $ é 17,5.

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância de $ Y $. A variância de uma transformação linear $ Y = aX + b $ é dada por:
Y
Note que o termo $ b $ desaparece porque a variância mede a dispersão e não é afetada por deslocamentos constantes.

Passo 5

Aplicando a fórmula da variância:
V(Y) = (32)^2 cdot V(X) = 94 cdot 16 = 36
Portanto, a variância de $ Y $ é 36.

Resposta

E(Y) = 17,5 e V(Y) = 36

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