Seja X uma v.
, onde:
e
. Foi criada uma nova
. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X $ com média $ \mathrm{E}(X) = 10 $ e variância $ \mathrm{V}(X) = 16 $. Criaram uma nova variável $ Y = \left(\frac{3X + 5}{2}\right) $. Nosso objetivo é calcular a média $ \mathrm{E}(Y) $ e a variância $ \mathrm{V}(Y) $. Para isso, vamos usar propriedades de transformação de variáveis aleatórias.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média de $ Y $. Sabemos que quando transformamos uma variável aleatória linearmente, a média também muda de forma linear. A fórmula geral para a média de $ Y = aX + b $ é:
No nosso caso, $ Y = \frac{3X + 5}{2} $. Podemos reescrever isso como $ Y = \frac{3}{2}X + \frac{5}{2} $. Assim, $ a = \frac{3}{2} $ e $ b = \frac{5}{2} $.
Passo 3
Aplicando a fórmula da média:
Então, a média de $ Y $ é 17,5.
Passo 4
Agora, vamos calcular a variância de $ Y $. A variância de uma transformação linear $ Y = aX + b $ é dada por:
Note que o termo $ b $ desaparece porque a variância mede a dispersão e não é afetada por deslocamentos constantes.
Passo 5
Aplicando a fórmula da variância:
Portanto, a variância de $ Y $ é 36.