Suponha que X tem distribuiçāo t de Student com n graus de liberdade. Explique por que 1 / X^{2} tem distribuição F. Quais os números de graus de liberdade?

Passo 1

O enunciado diz que X\sim t_n, ou seja, X tem distribuição Student com n graus de liberdade. Ele pede para mostrar que
\frac{1}{X^2}
tem distribuição F e identificar seus graus de liberdade. Para isso, vamos usar a representação de t em termos de normal e qui-quadrado e a definição da distribuição F.

Passo 2

Recordando a construção de t_n: seja
Z\sim N(0,1), \quad W\sim \chi^2_n,
independentes. Então
X=\frac{Z}{\sqrt{W/n}}
tem distribuição t com n graus de liberdade.

Passo 3

Elevando ao quadrado, obtemos
X^2 = \frac{Z^2}{W/n} = \frac{Z^2/1}{W/n},
que é, pela definição, uma variável com distribuição
F(1,n).

Passo 4

Finalmente, usamos a propriedade de reciprocidade da F: se
V\sim F(d_1,d_2),
então
\frac{1}{V}\sim F(d_2,d_1).
Como X^2\sim F(1,n), segue que
\frac{1}{X^2}\sim F(n,1).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{X^2}\sim F(n,1).

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