Seja
uma variável aleatória contínua com densidade dada por
Obtenha:
Passo 1
Então, a gente tem uma variável aleatória contínua $ X $ que tem uma função de densidade dada por:
O assunto aqui é funções de densidade de variáveis aleatórias contínuas. Para resolver, precisamos descobrir o valor de $ c $ que faz com que $ f(x) $ seja uma função de densidade válida. Isso significa que a área total sob a curva de $ f(x) $ deve ser igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para $ f(x) $ ser uma função de densidade, a integral de $ f(x) $ de $ -\infty $ a $ +\infty $ deve ser igual a 1. No nosso caso, como $ f(x) $ é zero para $ x < 1 $, a integral vai de 1 até $ +\infty $:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa integral. A integral de $ \frac{1}{x^{3}} $ em relação a $ x $ é:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 4
Aplicando os limites da integral, temos:
Isso porque quando $ x $ tende ao infinito, $ \frac{1}{2x^{2}} $ tende a 0.
Passo 5
Voltando à equação original:
Para que a integral seja igual a 1, precisamos que:
Então, isolando $ c $:
Resposta
O valor de $ c $ que torna $ f(x) $ uma função de densidade válida é $ c = 2 $.