Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade dada por:
f(x)= 0, & se x<0 k x, & se 0 <= x <= 12 4(1-x), & se 12<x <= 1 0, & se x>1
a) Determine k para que f(x) seja uma função densidade.
b) P(13<X<34).
c) Determine a função de distribuição acumulada.
d) Determine c, tal que P(X <= c)=0,5
Resp.: a) 4;
b) 4772 ; c) f(x)= 0, & se x<0 2 x^2, & se 0 <= x<12 -2 x^2+4 x-1, & se 12 <= x<1 1, & se x >= 1
d) c=0,5.

Passo 1

O enunciado apresenta uma variável aleatória contínua
Precisamos (1) determinar ; (2) calcular integrando a pdf; (3) obter a função de distribuição acumulada em cada intervalo; e (4) achar tal que , ou seja, resolver .

Passo 2

Para normalizar, impomos
integral-infty^inftyf(x),dx =integral0^1/2k,x,dx+integral1/2^14(1-x),dx=1
Calculamos
integral0^1/2k,x,dx =k2,x^2|0^1/2 =k2cdot14 =k8,
integral1/2^14(1-x),dx =4l(x-tfracx^22r)|1/2^1 =4l((1-tfrac12)-(tfrac12-tfrac18)r) =4cdot18 =12
Logo
k8+12=1 Longrightarrow k8=12 Longrightarrow k=4

Passo 3

Com k=4,
Pl(tfrac13<X<tfrac34r) =integral1/3^1/24x,dx+integral1/2^3/44(1-x),dx
Primeiro termo:
integral1/3^1/24x,dx =2x^2|1/3^1/2 =2l(tfrac14-tfrac19r) =2cdot536 =518
Segundo termo:
integral1/2^3/44(1-x),dx =4l(x-tfracx^22r)|1/2^3/4 =4l(tfrac1532-tfrac1232r) =4cdot332 =38
Somando:
518+38 =20+2772 =4772

Passo 4

A função de distribuição acumulada é
para x<0:
F(x)=0
Para 0<= x<tfrac12:
F(x) =integral0^x4t,dt =2x^2
Para tfrac12<= x<1:
F(x) =Fl(tfrac12r)+integral1/2^x4(1-t),dt =12+;4l(t-tfract^22r)|1/2^x =-2x^2+4x-1
Para x>=1:
F(x)=1

Passo 5

Para achar c tal que F(c)=0,5, testamos os ramos.
Se 0<= c<tfrac12, F(c)=2c^2=0,5 leva a c^2=0,25 e c=0,5, mas isso não pertence a [0,tfrac12).
No ramo tfrac12<= c<1,
-2c^2+4c-1=0,5 Longrightarrow 2c^2-4c+tfrac32=0 Longrightarrow 4c^2-8c+3=0
c=8pmraiz64-488 =8pm48 ;Longrightarrow; c=1,5 ou c=0,5
O único viável em [tfrac12,1) é c=0,5.

Resposta

(a)
(d) (c=0{,}5]

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