Seja
uma variável aleatória com fdp dada por
para
. Obtenha:
A fda de
A fda de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X $ com a função densidade de probabilidade (fdp) dada por $ f_X(x) = 4x^{3} $ no intervalo $ \mathcal{X} = (0,1) $. Nosso objetivo aqui é encontrar a função distribuição acumulada (fda) de $ X $. Para isso, vamos precisar entender como a fdp se relaciona com a fda e usar um pouco de cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função distribuição acumulada $ F_X(x) $ nos dá a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a um valor específico $ x $. Matematicamente, isso é definido como:
No nosso caso, como $ f_X(x) = 4x^{3} $ apenas no intervalo $ (0,1) $ e é zero fora desse intervalo, a integral simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa integral. A integral de $ 4t^{3} $ em relação a $ t $ é:
Como estamos calculando uma integral definida de 0 até $ x $, a constante $ C $ se cancela:
Passo 4
Então, juntando tudo, a função distribuição acumulada $ F_X(x) $ para $ X $ no intervalo $ (0,1) $ é simplesmente $ x^{4} $. Fora desse intervalo, lembrando que a fdp é zero, a fda será:
- Para $ x < 0 $: $ F_X(x) = 0 $
- Para $ 0 \leq x \leq 1 $: $ F_X(x) = x^{4} $
- Para $ x > 1 $: $ F_X(x) = 1 $
Resposta
A função distribuição acumulada de $ X $ é: