Seja X uma variável quantitativa, tal que X é definida como a idade dos indivíduos com uma característica de interesse, em anos. Suponha uma transformação na variável idade, de tal forma que uma constante é adicionada a cada observação. Qual é o efeito na
(a) média;
(b) mediana;
(c) moda;
(d) desvio padrão
(e) variância;

Passo 1

O enunciado dá uma variável quantitativa X que representa idades em anos e pede para analisar uma transformação do tipo
X' = X + c,
ou seja, adicionamos uma constante c a cada observação de idade. Vamos ver como isso afeta as medidas de tendência central (média, mediana, moda) e de dispersão (desvio padrão, variância).

Passo 2

Média. Por definição a média de X é
bar X = 1nsumi=1^n Xi
Se cada Xi vira Xi' = Xi + c, então
bar X' = 1nsumi=1^n (Xi + c) = 1nl(sumi=1^n Xi + n,cr) = bar X + c
Ou seja, a média aumenta em c.

Passo 3

Mediana. A mediana é o ponto central da distribuição. Se deslocamos todos os valores em c, o valor mediano também se desloca em c. Logo,
tilde X' = tilde X + c

Passo 4

Moda. A moda é o valor que mais se repete. Se o valor modal de X era m, após a transformação ele passa a ser
m' = m + c,
pois todos os valores da amostra sofreram o mesmo acréscimo.

Passo 5

Desvio padrão. O desvio padrão mede dispersão em torno da média. Ele é dado por
sX = raiz1n-1sumi=1^n (Xi - bar X)^2
Como em X' temos (Xi' - bar X') = (Xi + c) - (bar X + c) = Xi - bar X, concluímos que
sX' = sX

Passo 6

Variância. A variância é o quadrado do desvio padrão:
Var(X) = sX^2
Como sX' = sX, temos também
Var(X') = Var(X)

Resposta

(a) A média aumenta em c.
(b) A mediana aumenta em c.
(c) A moda aumenta em c.
(d) O desvio padrão permanece igual.
(e) A variância permanece igual.

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