Seja X uma variável quantitativa, tal que X é definida como a idade dos indivíduos com uma característica de interesse, em anos. Suponha uma transformação na variável idade, de tal forma que uma constante é adicionada a cada observação. Qual é o efeito na
(a) média;
(b) mediana;
(c) moda;
(d) desvio padrão
(e) variância;
Passo 1
O enunciado dá uma variável quantitativa que representa idades em anos e pede para analisar uma transformação do tipo
ou seja, adicionamos uma constante a cada observação de idade. Vamos ver como isso afeta as medidas de tendência central (média, mediana, moda) e de dispersão (desvio padrão, variância).
Passo 2
Média. Por definição a média de é
Se cada vira , então
Ou seja, a média aumenta em .
Passo 3
Mediana. A mediana é o ponto central da distribuição. Se deslocamos todos os valores em , o valor mediano também se desloca em . Logo,
Passo 4
Moda. A moda é o valor que mais se repete. Se o valor modal de era , após a transformação ele passa a ser
pois todos os valores da amostra sofreram o mesmo acréscimo.
Passo 5
Desvio padrão. O desvio padrão mede dispersão em torno da média. Ele é dado por
Como em X' temos (Xi' - bar X') = (Xi + c) - (bar X + c) = Xi - bar X, concluímos que
sX' = sX
Passo 6
Variância. A variância é o quadrado do desvio padrão:
Var(X) = sX^2
Como sX' = sX, temos também
Var(X') = Var(X)
Resposta
(a) A média aumenta em c.
(b) A mediana aumenta em c.
(c) A moda aumenta em c.
(d) O desvio padrão permanece igual.
(e) A variância permanece igual.