Suponha que as variáveis aleatórias X1 e X2 denotarem comprimento e largura, respectivamente de uma peça fabricada. Considere que X1 seja normal com média 2 cm e desvio padrão de 0,1 cm, e que X2 seja normal com média 5 cm e desvio padrão de 0,2 cm. Considere também que X1 e X2 sejam independentes. Determine a probabilidade de o perímetro exceder 14,5 cm. Sejam X e Y variáveis aleatórias contínuas com densidade conjunta A densidade conjunta de X e Y é
fX, Y(x, y)= 2, & se x>0, y>0 e x+y<1 0, & caso contrário á
(a) Determine E(Y mid X=x) e Var(Y mid X=x);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de estatística envolvendo variáveis aleatórias contínuas, especificamente X e Y com uma densidade conjunta dada. A missão é encontrar a expectativa condicional de Y dado X igual a um valor específico, ou seja, E(Y mid X=x), e também a variância condicional, Var(Y mid X=x). Para isso, vamos precisar entender como funciona a distribuição condicional e usar integrais para calcular essas medidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a densidade conjunta que foi dada:
fX,Y(x, y) = 2, & se x > 0, y > 0 e x + y < 1 0, & caso contrário á
Isso significa que X e Y só têm valores positivos onde a soma deles é menor que 1. Fora disso, a densidade é zero.

Passo 3

Para encontrar E(Y mid X=x) e Var(Y mid X=x), primeiro precisamos determinar a densidade condicional de Y dado X=x, que é dada por:
fY|X(y|x) = fX,Y(x,y)fX(x)
Onde fX(x) é a densidade marginal de X.

Passo 4

Vamos calcular a densidade marginal de X, fX(x):
fX(x) = integral0^1 - x fX,Y(x,y) , dy = integral0^1 - x 2 , dy = 2(1 - x)
Isso porque estamos integrando a densidade conjunta no intervalo onde y > 0 e x + y < 1, ou seja, y vai de 0 a 1 - x.

Passo 5

Agora, podemos encontrar a densidade condicional fY|X(y|x):
fY|X(y|x) = 22(1 - x) = 11 - x para 0 < y < 1 - x
Isso mostra que, dado um valor de X=x, Y está uniformemente distribuído no intervalo de 0 a 1 - x.

Passo 6

Agora que temos a densidade condicional, podemos calcular a esperança condicional E(Y mid X=x). Para uma distribuição uniforme de Y entre 0 e 1 - x, a média é simplesmente o ponto médio do intervalo:
E(Y mid X=x) = 0 + (1 - x)2 = 1 - x2

Passo 7

Para encontrar a variância condicional Var(Y mid X=x), usamos a fórmula da variância para uma distribuição uniforme:
Var(Y mid X=x) = (b - a)^212
Onde a = 0 e b = 1 - x, então:
Var(Y mid X=x) = (1 - x)^212

Resposta

Então, temos que:
E(Y mid X=x) = 1 - x2
e
Var(Y mid X=x) = (1 - x)^212

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