Suponha que as variáveis aleatórias
e
denotarem comprimento e largura, respectivamente de uma peça fabricada. Considere que
seja normal com média 2 cm e desvio padrão de
, e que
seja normal com média 5 cm e desvio padrão de
. Considere também que
e
sejam independentes. Determine a probabilidade de o perímetro exceder
. Sejam
e
variáveis aleatórias contínuas com densidade conjunta A densidade conjunta de
e
é
(a) Determine
e
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de estatística envolvendo variáveis aleatórias contínuas, especificamente X e Y com uma densidade conjunta dada. A missão é encontrar a expectativa condicional de Y dado X igual a um valor específico, ou seja,
, e também a variância condicional,
. Para isso, vamos precisar entender como funciona a distribuição condicional e usar integrais para calcular essas medidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a densidade conjunta que foi dada:
Isso significa que X e Y só têm valores positivos onde a soma deles é menor que 1. Fora disso, a densidade é zero.
Passo 3
Para encontrar
e
, primeiro precisamos determinar a densidade condicional de Y dado X=x, que é dada por:
Onde
é a densidade marginal de X.
Passo 4
Vamos calcular a densidade marginal de X,
:
Isso porque estamos integrando a densidade conjunta no intervalo onde
e
, ou seja,
vai de 0 a
.
Passo 5
Agora, podemos encontrar a densidade condicional
:
Isso mostra que, dado um valor de X=x, Y está uniformemente distribuído no intervalo de 0 a
.
Passo 6
Agora que temos a densidade condicional, podemos calcular a esperança condicional
. Para uma distribuição uniforme de
entre 0 e
, a média é simplesmente o ponto médio do intervalo:
Passo 7
Para encontrar a variância condicional
, usamos a fórmula da variância para uma distribuição uniforme:
Onde
e
, então:
Resposta
Então, temos que:
e