Suponha que
e
são variáveis aleatórias i.i.d. e que cada uma tem função densidade dada por:
Seja
e
.
Determine a função densidade conjunta de
e
.
Determine a função densidade conjunta de
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos duas variáveis aleatórias, $ X $ e $ Y $, que são independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.), cada uma com a função densidade $ f(x) = e^{-x} $ para $ x > 0 $. Queremos encontrar a função densidade conjunta das novas variáveis $ U = \frac{X}{X+Y} $ e $ V = X + Y $. Para resolver isso, vamos usar a técnica de mudança de variáveis em funções de densidade conjuntas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que $ X $ e $ Y $ são independentes, então a função densidade conjunta de $ X $ e $ Y $ é o produto das densidades individuais:
Passo 3
Agora, queremos mudar de variáveis para $ U $ e $ V $, onde:
Precisamos expressar $ X $ e $ Y $ em termos de $ U $ e $ V $. Resolvendo para $ X $ e $ Y $:
Passo 4
Para encontrar a função densidade conjunta de $ U $ e $ V $, $ f_{U,V}(u, v) $, usamos a fórmula de mudança de variáveis:
onde $ \left| \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} \right| $ é o valor absoluto do determinante da matriz jacobiana da transformação.
Passo 5
Vamos calcular a matriz jacobiana. Sabemos que:
As derivadas parciais são:
A matriz jacobiana é então:
O determinante de $ J $ é:
Então, o valor absoluto do determinante é $ |v| $. Como $ v = X + Y > 0 $, temos $ |v| = v $.
Passo 6
Agora, substituímos tudo na fórmula da mudança de variáveis:
Sabemos que $ f_{X,Y}(x, y) = e^{-(x + y)} $, então:
Resposta
A função densidade conjunta de $ U $ e $ V $ é dada por: