Suponha que X e Y são variáveis aleatórias i.i.d. e que cada uma tem função densidade dada por:
f(x)=e^-x I(0, infty)(x)
Seja U=X /(X+Y) e V=X+Y.
Determine a função densidade conjunta de U e V.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos duas variáveis aleatórias, $ X $ e $ Y $, que são independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.), cada uma com a função densidade $ f(x) = e^{-x} $ para $ x > 0 $. Queremos encontrar a função densidade conjunta das novas variáveis $ U = \frac{X}{X+Y} $ e $ V = X + Y $. Para resolver isso, vamos usar a técnica de mudança de variáveis em funções de densidade conjuntas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que $ X $ e $ Y $ são independentes, então a função densidade conjunta de $ X $ e $ Y $ é o produto das densidades individuais:
X

Passo 3

Agora, queremos mudar de variáveis para $ U $ e $ V $, onde:
U
Precisamos expressar $ X $ e $ Y $ em termos de $ U $ e $ V $. Resolvendo para $ X $ e $ Y $:
V

Passo 4

Para encontrar a função densidade conjunta de $ U $ e $ V $, $ f_{U,V}(u, v) $, usamos a fórmula de mudança de variáveis:
U
onde $ \left| \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} \right| $ é o valor absoluto do determinante da matriz jacobiana da transformação.

Passo 5

Vamos calcular a matriz jacobiana. Sabemos que:
x = u v, y = v (1 - u)
As derivadas parciais são:
partial xpartial u = v, partial xpartial v = u,
partial ypartial u = -v, partial ypartial v = 1 - u
A matriz jacobiana é então:
J = v & u - v & 1 - u
O determinante de $ J $ é:
J
Então, o valor absoluto do determinante é $ |v| $. Como $ v = X + Y > 0 $, temos $ |v| = v $.

Passo 6

Agora, substituímos tudo na fórmula da mudança de variáveis:
fU,V(u, v) = fX,Y(u v, v (1 - u)) cdot v
Sabemos que $ f_{X,Y}(x, y) = e^{-(x + y)} $, então:
fX,Y(x, y) = e^-(x + y)

Resposta

A função densidade conjunta de $ U $ e $ V $ é dada por:
U

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