Suponha que um equipamento eletrônico é composto por quatro componentes eletrônicos e seja
o tempo até o
-ésimo componente parar de funcionar,
. Suponha que
e
são i.i.d. com função de distribuição
. Suponha que o sistema funciona se o componente 1 e pelo menos um dos outros três funcionam. Determine a função de distribuição do tempo até o sistema parar de funcionar.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um equipamento eletrônico composto por quatro componentes, onde $ X_j $ representa o tempo até o $ j $-ésimo componente parar de funcionar para $ j=1,2,3,4 $. Todos esses tempos são independentes e identicamente distribuídos, ou seja, seguem a mesma função de distribuição $ F(x) $.
O sistema como um todo funciona se o componente 1 está funcionando e pelo menos um dos outros três componentes também está funcionando. Nosso objetivo é encontrar a função de distribuição do tempo até o sistema parar de funcionar, ou seja, $ F_{sistema}(x) $.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de confiabilidade de sistemas e como combinar as distribuições de várias peças para determinar a confiabilidade do sistema como um todo.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar quando o sistema para de funcionar. Pelo enunciado, o sistema funciona se:
- Componente 1 está funcionando.
- Pelo menos um dos componentes 2, 3 e 4 está funcionando.
Portanto, o sistema para de funcionar se:
- O componente 1 falha, ou
- O componente 1 está funcionando, mas todos os componentes 2, 3 e 4 falham.
Vamos traduzir isso matematicamente. Seja $ T $ o tempo até o sistema falhar. Então:
Mas para facilitar, podemos pensar na falha do sistema como o mínimo entre o tempo em que o componente 1 falha e o tempo em que todos os componentes 2, 3 e 4 falham simultaneamente enquanto o componente 1 ainda está funcionando.
Passo 3
Vamos calcular a função de distribuição do tempo até o sistema falhar, $ F_T(t) = P(T \leq t) $.
O sistema falha se:
- O componente 1 falha até o tempo $ t $, ou
- Todos os componentes 2, 3 e 4 falham até o tempo $ t $ e o componente 1 ainda está funcionando até $ t $.
Matematicamente:
Como os componentes são independentes e identicamente distribuídos:
E:
Substituindo na expressão de $ F_T(t) $:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
Resposta
A função de distribuição do tempo até o sistema parar de funcionar é: