Suponha que um equipamento eletrônico é composto por quatro componentes eletrônicos e seja Xj o tempo até o j-ésimo componente parar de funcionar, j=1,2,3,4. Suponha que X1, X2, X3 e X4 são i.i.d. com função de distribuição F(x). Suponha que o sistema funciona se o componente 1 e pelo menos um dos outros três funcionam. Determine a função de distribuição do tempo até o sistema parar de funcionar.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um equipamento eletrônico composto por quatro componentes, onde $ X_j $ representa o tempo até o $ j $-ésimo componente parar de funcionar para $ j=1,2,3,4 $. Todos esses tempos são independentes e identicamente distribuídos, ou seja, seguem a mesma função de distribuição $ F(x) $.
O sistema como um todo funciona se o componente 1 está funcionando e pelo menos um dos outros três componentes também está funcionando. Nosso objetivo é encontrar a função de distribuição do tempo até o sistema parar de funcionar, ou seja, $ F_{sistema}(x) $.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de confiabilidade de sistemas e como combinar as distribuições de várias peças para determinar a confiabilidade do sistema como um todo.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar quando o sistema para de funcionar. Pelo enunciado, o sistema funciona se:
  1. Componente 1 está funcionando.
  2. Pelo menos um dos componentes 2, 3 e 4 está funcionando.
Portanto, o sistema para de funcionar se:
  • O componente 1 falha, ou
  • O componente 1 está funcionando, mas todos os componentes 2, 3 e 4 falham.
Vamos traduzir isso matematicamente. Seja $ T $ o tempo até o sistema falhar. Então:
T
Mas para facilitar, podemos pensar na falha do sistema como o mínimo entre o tempo em que o componente 1 falha e o tempo em que todos os componentes 2, 3 e 4 falham simultaneamente enquanto o componente 1 ainda está funcionando.

Passo 3

Vamos calcular a função de distribuição do tempo até o sistema falhar, $ F_T(t) = P(T \leq t) $.
O sistema falha se:
  1. O componente 1 falha até o tempo $ t $, ou
  2. Todos os componentes 2, 3 e 4 falham até o tempo $ t $ e o componente 1 ainda está funcionando até $ t $.
Matematicamente:
FT(t) = P(T <= t)
Como os componentes são independentes e identicamente distribuídos:
t
E:
t
Substituindo na expressão de $ F_T(t) $:
t

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
FT(t) = F(t) + (1 - F(t)) cdot [F(t)]^3
FT(t) = F(t) + [F(t)]^3 - [F(t)]^4
FT(t) = F(t) + F(t)^3 - F(t)^4

Resposta

A função de distribuição do tempo até o sistema parar de funcionar é:
FT(t) = F(t) + F(t)^3 - F(t)^4

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