Seja (X, Y) vetor aleatório uniformemente distribúdo no triângulo de vértices (0,-1), (0,1) e (1,0).
(a) Determine as densidades marginais de X e de Y.
(b) X e Y são independentes?

Passo 1

O enunciado diz que (X,Y) é uniformemente distribuído no triângulo de vértices (0,-1), (0,1) e (1,0). Precisamos (a) encontrar as densidades marginais de X e de Y e (b) verificar se X e Y são independentes.

Passo 2

Identificamos a região de suporte
T=\bigl\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;-1+x\le y\le1-x\bigr\},
que tem área
\text{Area}(T)=\tfrac12\cdot(2)\cdot(1)=1.
Como a distribuição é uniforme, a densidade conjunta é
f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} 1,&(x,y)\in T,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á

Passo 3

Para obter a densidade marginal de X, integramos em y:
f_X(x) =\int_{y=-1+x}^{\,1-x}1\,dy =(1-x)-(-1+x) =2-2x =2(1-x), \quad 0\le x\le1,
e f_X(x)=0 fora de [0,1].

Passo 4

Para a densidade marginal de Y, integramos em x. Fixado y\in[-1,1], as condições 0\le x\le1, y\ge-1+x e y\le1-x implicam
0\le x\le\min\{\,y+1,\;1-y\}.
Logo
f_Y(y) =\int_{x=0}^{\min(y+1,\,1-y)}1\,dx =\min(y+1,\,1-y), \quad -1\le y\le1,
e f_Y(y)=0 fora de [-1,1]. Em forma piecewise:
f_Y(y)= \begin{cases} y+1,&-1\le y\le0,\\\\ 1-y,&0\le y\le1,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á

Passo 5

Para checar independência, verifique se
f_{X,Y}(x,y)\stackrel{?}{=}f_X(x)\,f_Y(y)
para todo (x,y). Note que em (x,y)=(1,0) temos f_{X,Y}(1,0)=1 mas
f_X(1)\,f_Y(0)=\bigl(2(1-1)\bigr)\cdot(1)=0,
logo não coincidem. Portanto X e Y não são independentes.

Resposta

(a)
f_X(x)= \begin{cases} 2(1-x),&0\le x\le1,\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases} \qquad f_Y(y)= \begin{cases} y+1,&-1\le y\le0,\\\\ 1-y,&0\le y\le1,\\\\ 0,&\text{caso contrário}. \end{cases}áá
(b) X e Y não são independentes.

Exercícios relacionados