Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes com mesma distribuiçāo \exp (1). Usando o método do jacobiano, obtenha a densidade conjunta de (Z, W), onde Z=X /(X+Y) e W=X+Y. Não se esqueça de indicar em que região varia (Z, W).

Passo 1

O enunciado diz que X e Y são independentes com distribuição \exp(1), ou seja
f_{X,Y}(x,y)=e^{-x}e^{-y}=e^{-(x+y)},\quad x\ge0,\;y\ge0.
Queremos a densidade conjunta de
Z=\frac{X}{X+Y},\quad W=X+Y,
usando mudança de variáveis e cálculo do jacobiano.

Passo 2

Escrevemos a transformação inversa (z,w)\mapsto(x,y):
x = z\,w,\qquad y = w - x = w(1 - z).
Para que x\ge0 e y\ge0 precisamos de
0<z<1,\qquad w>0.

Passo 3

Calculamos o jacobiano
J = \det\frac{\partial(x,y)}{\partial(z,w)} =\det\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial z}&\frac{\partial x}{\partial w}\\[6pt] \frac{\partial y}{\partial z}&\frac{\partial y}{\partial w} \end{pmatrix} =\det\begin{pmatrix} w & z\\\\ -\,w & 1-z \end{pmatrix} = w(1-z)+wz = w.]

Passo 4

Pela fórmula da mudança de variáveis, para 0<z<1 e w>0
f_{Z,W}(z,w) =f_{X,Y}\bigl(x(z,w),y(z,w)\bigr)\,\bigl|J\bigr| =e^{-\bigl(z w + w(1-z)\bigr)}\;w =e^{-w}\,w.

Passo 5

Portanto a densidade conjunta de (Z,W)\) é \[f_{Z,W}(z,w)= \begin{cases} w\,e^{-w},&0<z<1,\;w>0,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}
A região de suporte é 0<z<1\] e \(w>0.

Resposta

f_{Z,W}(z,w)= \begin{cases} w\,e^{-w},&0<z<1,\;w>0,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á

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