Suponha que X scja una variável alcatória com distribuição uniforme no intervalo (0,1) e suponha que (Y \mid X) tenha distribuiçāo Bernoulli de parâmetro X, ou seja, P(Y=1 \mid X)=X e P(Y=0 \mid X)=1-X. A partir das propriedades da esperança a variância condicionais, determine \mathrm{E}[Y] e \operatorname{Var}[Y].

Passo 1

O enunciado define uma variável aleatória X\sim\mathrm{Uniform}(0,1) e, condicionalmente a X=x, outra variável Y com distribuição \mathrm{Bernoulli}(x). Queremos usar a lei da esperança total e a fórmula da variância total para encontrar \mathrm{E}[Y] e \mathrm{Var}[Y].

Passo 2

Pela lei da esperança total,
\mathrm{E}[Y] = \mathrm{E}\bigl[\mathrm{E}[Y \mid X]\bigr].
Como \mathrm{E}[Y \mid X=x]=x para a Bernoulli de parâmetro x, temos
\mathrm{E}[Y] = \mathrm{E}[X].
Para X\sim\mathrm{Uniform}(0,1),
\mathrm{E}[X]=\frac{1}{2}.

Passo 3

Para a variância, usamos
\mathrm{Var}[Y] = \mathrm{E}\bigl[\mathrm{Var}(Y\mid X)\bigr] \;+\;\mathrm{Var}\bigl(\mathrm{E}[Y\mid X]\bigr).
Primeiro, \mathrm{Var}(Y\mid X=x)=x(1-x). Logo
\mathrm{E}\bigl[\mathrm{Var}(Y\mid X)\bigr] = \mathrm{E}\bigl[X(1-X)\bigr] = \mathrm{E}[X] - \mathrm{E}[X^2].
Como \mathrm{E}[X]=\tfrac12 e \mathrm{E}[X^2]=\tfrac{1}{3}, segue
\mathrm{E}\bigl[\mathrm{Var}(Y\mid X)\bigr] = \frac12 - \frac13 = \frac{1}{6}.

Passo 4

Depois, \mathrm{E}[Y\mid X]=X, então
\mathrm{Var}\bigl(\mathrm{E}[Y\mid X]\bigr) = \mathrm{Var}(X) = \frac{1}{12}
para a uniforme (0,1). Somando as duas parcelas,
\mathrm{Var}[Y] = \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{1}{4}.

Resposta

\mathrm{E}[Y]=\tfrac12 \mathrm{Var}[Y]=\tfrac14

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