Suponha que X_{1}, \ldots, X_{n} tenham distribuições independentes e uniformes no intervalo (0,1). Qual a densidade da estatística de ordem X_{(n)} ?

Passo 1

Temos X_{1},\dots,X_{n} independentes e identicamente distribuídas como \mathrm{Uniform}(0,1). Queremos a densidade do máximo
X_{(n)} = \max\{X_{1},\dots,X_{n}\}.
O conteúdo é estatística de ordem; usaremos a abordagem via função de distribuição acumulada (CDF).

Passo 2

Calcular a CDF de X_{(n)}. Para 0<x<1,
F_{X_{(n)}}(x) = P\bigl(X_{(n)} \le x\bigr) = P\bigl(X_1 \le x,\dots,X_n \le x\bigr).
Como são independentes e cada X_i tem CDF F(x)=x em (0,1),
F_{X_{(n)}}(x) = \bigl(F(x)\bigr)^n = x^n.

Passo 3

A densidade de X_{(n)} obtém-se diferenciando a CDF:
f_{X_{(n)}}(x) = \frac{d}{dx}F_{X_{(n)}}(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x^n\bigr) = n\,x^{n-1}, \quad 0<x<1.

Resposta

A densidade da estatística de ordem X_{(n)} é
f_{X_{(n)}}(x)= \begin{cases} n\,x^{n-1},&0<x<1,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á

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