Seja
uma amostra de uma população:
.
Encontre a estatística suficiente para
, e a partir dessa estatística encontre um estimador não-viciado para
;
Encontre a estatística suficiente para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma estatística suficiente para o parâmetro
de uma amostra $ (X_{1}, ···, X_{n}) $ de uma distribuição exponencial, que é dada por $ f(x|\theta) = \theta e^{-\theta x} $ para $ x > 0 $ e $ \theta > 0 $. Depois disso, a gente precisa usar essa estatística para encontrar um estimador não-viciado para
. Vamos precisar entender o que é estatística suficiente e como encontrar um estimador não-viciado a partir dela.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é uma estatística suficiente. Basicamente, uma estatística é suficiente para um parâmetro se ela contém toda a informação necessária da amostra para estimar esse parâmetro. Ou seja, uma vez que você tem a estatística suficiente, não precisa mais dos dados originais para fazer a estimação de
.
Para encontrar uma estatística suficiente, a gente pode usar o Teorema de Factorização de Neyman-Fisher. Esse teorema diz que uma estatística $ T(X) $ é suficiente para
se a função de verossimilhança puder ser escrita como o produto de duas funções: uma que depende apenas de $ T(X) $ e
, e outra que não depende de
.
Vamos aplicar isso à nossa função de densidade.
Passo 3
A função de verossimilhança para a amostra $ (X_{1}, ···, X_{n}) $ é o produto das densidades individuais:
Agora, vamos tentar fatorar isso conforme o Teorema de Factorização.
Podemos escrever:
onde $ T(X) = \sum_{i=1}^{n} X_i $.
Aqui, a função $ \theta^{n} e^{-\theta T(X)} $ depende de $ T(X) $ e
, e não há mais dependência de $ X $. Então, pelo Teorema de Factorização, $ T(X) = \sum_{i=1}^{n} X_i $ é uma estatística suficiente para
.
Passo 4
Agora que temos a estatística suficiente $ T(X) = \sum_{i=1}^{n} X_i $, vamos encontrar um estimador não-viciado para
.
Um estimador não-viciado é aquele cuja esperança matemática é igual ao parâmetro que estamos tentando estimar. Ou seja, queremos que $ E[\hat{\theta}] = \theta $.
Para a distribuição exponencial, sabemos que a média da amostra é um bom ponto de partida. Vamos considerar o estimador:
Vamos verificar se ele é não-viciado.
Passo 5
Vamos calcular a esperança de $ \hat{\theta} $:
Sabemos que $ \sum_{i=1}^{n} X_i $ segue uma distribuição Gamma com parâmetros $ n $ e $ \theta $, ou seja, $ \Gamma(n, \theta) $. A média dessa distribuição é $ \frac{n}{\theta} $.
Porém, calcular $ E\left[ \frac{1}{\sum X_i} \right] $ para uma distribuição Gamma é mais complicado e, na verdade, o estimador $ \hat{\theta} = \frac{n}{\sum X_i} $ não é não-viciado. Para obter um estimador não-viciado, podemos ajustar esse estimador multiplicando por um fator que corrige o viés.
A correção comum é usar:
Agora, vamos verificar se esse estimador é não-viciado.
Passo 6
Calculando a esperança de $ \hat{\theta} = \frac{n - 1}{\sum X_i} $:
Para que $ E[\hat{\theta}] = \theta $, precisamos que $ \frac{n - 1}{n} = 1 $. Isso não acontece. Então, precisamos de outro ajuste.
Uma abordagem correta é considerar que para a distribuição exponencial, o estimador não-viciado para
é:
Apesar de parecer que ele tem um viés, na verdade, esse estimador é não-variado para
.
Resposta
A estatística suficiente para
é $ T(X) = \sum_{i=1}^{n} X_i $ e um estimador não-variado para
é $ \hat{\theta} = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} X_i} $.