Seja
de uma amostra aleatória de tamanho
da distribuição de uma variável aleatória
. Considere os estimadores
. e
. Onde
.
Encontre
e
que tornam os estimadores não-viciados;
Encontre
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos uma amostra aleatória de tamanho $ n $ de uma distribuição uniforme $ U(0, \theta) $. Queremos encontrar os valores de $ c_1 $ e $ c_2 $ que tornam os estimadores $ \widehat{\theta_1} = c_1 \bar{X} $ e $ \widehat{\theta_2} = c_2 M $ não-viciados. Para resolver isso, precisamos entender o que significa um estimador não-viciado e como calcular o valor esperado das estimativas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um estimador não-viciado. Um estimador é não-viciado se o seu valor esperado for igual ao parâmetro que estamos tentando estimar. No nosso caso, queremos que $ E[\widehat{\theta_1}] = \theta $ e $ E[\widehat{\theta_2}] = \theta $.
Passo 3
Vamos começar com o primeiro estimador $ \widehat{\theta_1} = c_1 \bar{X} $. Aqui, $ \bar{X} $ é a média da amostra. Para encontrar $ E[\bar{X}] $, lembramos que para uma distribuição uniforme $ U(0, \theta) $, o valor esperado de $ X $ é $ \frac{\theta}{2} $. Como a média da amostra é a soma dos valores dividida por $ n $, o valor esperado de $ \bar{X} $ também é $ \frac{\theta}{2} $.
Passo 4
Agora, queremos que $ E[\widehat{\theta_1}] = c_1 E[\bar{X}] = \theta $. Substituindo o valor de $ E[\bar{X}] $, temos:
Para encontrar $ c_1 $, basta resolver a equação:
Passo 5
Agora, vamos para o segundo estimador $ \widehat{\theta_2} = c_2 M $, onde $ M $ é o máximo da amostra. Para uma distribuição uniforme $ U(0, \theta) $, o valor esperado de $ M $ é $ \frac{n \theta}{n + 1} $.
Passo 6
Queremos que $ E[\widehat{\theta_2}] = c_2 E[M] = \theta $. Substituindo o valor de $ E[M] $, temos:
Resolvendo para $ c_2 $:
Resposta
Os valores que tornam os estimadores não-viciados são: