Seja (X1, ldots, Xn) de uma amostra aleatória de tamanho n da distribuição de uma variável aleatória X sim U(0, theta). Considere os estimadores widehattheta1=c1 barX. e widehattheta2=c2 M. Onde M=max (X1, ldots, Xn).
Encontre c1 e c2 que tornam os estimadores não-viciados;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos uma amostra aleatória de tamanho $ n $ de uma distribuição uniforme $ U(0, \theta) $. Queremos encontrar os valores de $ c_1 $ e $ c_2 $ que tornam os estimadores $ \widehat{\theta_1} = c_1 \bar{X} $ e $ \widehat{\theta_2} = c_2 M $ não-viciados. Para resolver isso, precisamos entender o que significa um estimador não-viciado e como calcular o valor esperado das estimativas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um estimador não-viciado. Um estimador é não-viciado se o seu valor esperado for igual ao parâmetro que estamos tentando estimar. No nosso caso, queremos que $ E[\widehat{\theta_1}] = \theta $ e $ E[\widehat{\theta_2}] = \theta $.

Passo 3

Vamos começar com o primeiro estimador $ \widehat{\theta_1} = c_1 \bar{X} $. Aqui, $ \bar{X} $ é a média da amostra. Para encontrar $ E[\bar{X}] $, lembramos que para uma distribuição uniforme $ U(0, \theta) $, o valor esperado de $ X $ é $ \frac{\theta}{2} $. Como a média da amostra é a soma dos valores dividida por $ n $, o valor esperado de $ \bar{X} $ também é $ \frac{\theta}{2} $.

Passo 4

Agora, queremos que $ E[\widehat{\theta_1}] = c_1 E[\bar{X}] = \theta $. Substituindo o valor de $ E[\bar{X}] $, temos:
E[widehattheta1] = c1 E[barX] = theta
Para encontrar $ c_1 $, basta resolver a equação:
E[barX]

Passo 5

Agora, vamos para o segundo estimador $ \widehat{\theta_2} = c_2 M $, onde $ M $ é o máximo da amostra. Para uma distribuição uniforme $ U(0, \theta) $, o valor esperado de $ M $ é $ \frac{n \theta}{n + 1} $.

Passo 6

Queremos que $ E[\widehat{\theta_2}] = c_2 E[M] = \theta $. Substituindo o valor de $ E[M] $, temos:
E[widehattheta2] = c2 E[M] = theta
Resolvendo para $ c_2 $:
E[M]

Resposta

Os valores que tornam os estimadores não-viciados são:
c1 = 2
c2 = n + 1n

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